20 Bài tập Tính chất của phép khai phương lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Tính chất của phép khai phương

A. Bài tập Tính chất của phép khai phương

Bài 1. Tính:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{\left(-9\right)}^2}=\left|-9\right|=9.$

b) Ta có: $\sqrt{{\left(-\frac{6}{7}\right)}^2}=\left|-\frac{6}{7}\right|=\frac{6}{7}.$

c) Ta có: ${\left(-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{36}=3-6=-3.$

d) ${\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)}^2.\sqrt{0,81}=\frac{4}{9}.0,9=\frac{4}{9}.\frac{9}{10}=\frac{2}{5}.$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{7^2.5};$

b) $\sqrt{100a^2}$ với a < 0;

c) $\sqrt{6b}.\sqrt{24b}-4b$ với b ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{7^2.5}=7\sqrt{5}.$

b) Ta có: $\sqrt{100a^2}=\sqrt{{\left(10a\right)}^2}=\left|10a\right|=-10a$ với a < 0.

c) Với b ≥ 0, ta có:

$\sqrt{6b}.\sqrt{24b}-4b=\sqrt{6b.24b}-4b=\sqrt{144b^2}-4b$

$=\sqrt{{\left(12b\right)}^2}-4b=\left|12b\right|-4b=12b-4b=8b$

Bài 3. Cho hình chữ nhật có chiều rộng a (cm), chiều dài b (cm) và diện tích S (cm²).

a) Tìm S, biết $a=\sqrt{6},$ $b=\sqrt{48};$

b) Tìm a, biết $S=5\sqrt{6},$ $b=\sqrt{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: S = a.b

$=\sqrt{6}.\sqrt{48}$$=\sqrt{6.48}$

=$\sqrt{288}$$=12\sqrt{2}$

Vậy $S=12\sqrt{2}$ cm².

b) Ta có: a = S : b

$=5\sqrt{6}:\sqrt{3}$

$=5\sqrt{\frac{6}{3}}$$=5\sqrt{2}$

Vậy $a=5\sqrt{2}$cm

B. Lý thuyết Tính chất của phép khai phương

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

Tính chất

Với biểu thức A bất kì, ta có $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$, nghĩa là $\sqrt{A^2}=A$ khi $A\ge 0$; $\sqrt{A^2}=-A$ khi $A<0$.

Ví dụ: Với $x<0$, ta có 1 – x > 0. Do đó ${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2=1-x$.

2. Căn thức bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có $\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{AB}$.

Ví dụ:

$\sqrt{27}.\sqrt{3}=\sqrt{27.3}=\sqrt{81}=9$

Với $a\ge 0,b<0$ thì $\sqrt{25a^2{b}^2}=\sqrt{5^2.a^2.{\left(-b\right)}^2}=\sqrt{5^2}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{\left(-b\right)}^2}=5.a.\left(-b\right)=-5ab$.

Nhận xét: Ta có thể biến đổi $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$ hoặc $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ($a\ge 0$ và $b\ge 0$) để việc tính toán được dễ dàng hơn.

Với số thực a bất kì và b không âm, ta có $\sqrt{a^{2}b}=\left|a\right|\sqrt{b}$. Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn. Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn. + Nếu $a\ge 0$ thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$. + Nếu $a<0$ thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$.

Tổng quát, với hai biểu thức A và B mà $B\ge 0$, ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}$.

Ví dụ:

$\sqrt{75}=\sqrt{25.3}=\sqrt{5^2.3}=5\sqrt{3}$

$\sqrt{15a}.\sqrt{3a}=\sqrt{15a.3a}=\sqrt{3^2{a}^2.5}=\left|3a\right|\sqrt{5}$.

2. Căn thức bậc hai của một thương

Tính chất

Với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ: $\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}$;

$\sqrt{\frac{4a^2}{25}}=\frac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{4}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{25}}=\frac{2\left|a\right|}{5}$;

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$;

Với $a>0$ thì $\frac{\sqrt{52a^3}}{\sqrt{13a}}=\sqrt{\frac{52a^3}{13a}}=\sqrt{4a^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=2a$.

Nhận xét: Ta có thể biến đổi $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ hoặc $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ ($a\ge 0$ và $b\ge 0$) để việc tính toán được dễ dàng hơn.

Sơ đồ tư duy Tính chất của phép khai phương