20 Bài tập Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

A. Bài tập Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

b) Ta có: $\sqrt{\frac{3}{11}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{11}}{11}=\frac{\sqrt{33}}{11}.$

c) Ta có: $\sqrt{\frac{1}{5a^3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5a^3}}=\frac{1}{\sqrt{5a.a^2}}=\frac{1}{a\sqrt{5a}}=\frac{\sqrt{5a}}{5a^2}$ với a > 0.

d) Ta có: $3ab\sqrt{\frac{a^2}{3b}}=3ab.\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{3b}}=3ab.\frac{\left|a\right|}{\sqrt{3b}}$

Vì a < 0 nên $\left|a\right|=-a.$ Suy ra $3ab.\frac{\left|a\right|}{\sqrt{3b}}=3ab.\frac{-a}{\sqrt{3b}}=-\frac{3a^{2}b.\sqrt{3b}}{3b}=-a^2\sqrt{3b}.$

Bài 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $7\sqrt{2};$

b) $-3\sqrt{5};$

c) $3\sqrt{\frac{13}{9}};$

d) $-4\sqrt{\frac{13}{4}.}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $7\sqrt{2}=\sqrt{7^2.2}=\sqrt{49.2}=\sqrt{98}.$

b) Ta có: $-3\sqrt{5}=-\sqrt{3^2.5}=-\sqrt{9.5}=-\sqrt{45}.$

c) Ta có: $3\sqrt{\frac{13}{9}}=\sqrt{3^2.\frac{13}{9}}=\sqrt{9.\frac{13}{9}}=\sqrt{13}.$

d) Ta có: $-4\sqrt{\frac{13}{4}}=-\sqrt{4^2.\frac{13}{4}}=-\sqrt{13.4}=-\sqrt{52}.$

Bài 3. Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{7+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}};$

b) $\frac{1}{\sqrt{6}-3};$

c) $\frac{5+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}};$

d) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}.$

Hướng dẫn giải

a) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{3},$ ta được:

$\frac{7+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}+2.3}{3}=\frac{7\sqrt{3}+6}{3}.$

b) Biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{6}+3.$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{6}+3,$ ta được:

$\frac{1}{\sqrt{6}-3}=\frac{\sqrt{6}+3}{\left(\sqrt{6}-3\right)\left(\sqrt{6}+3\right)}=\frac{\sqrt{6}+3}{6-9}=-\frac{\sqrt{6}+3}{3}.$

c) Biểu thức liên hợp của mẫu là $1+\sqrt{5}.$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $1+\sqrt{5},$ ta được:

$\frac{5+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}=\frac{\sqrt{5}\left(6+2\sqrt{5}\right)}{1-5}=-\frac{6\sqrt{5}+10}{4}=-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}.$

d) Biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{2}-\sqrt{3}.$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{2}-\sqrt{3},$ ta được:

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{8}\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{16}-\sqrt{24}}{2-3}=2\sqrt{6}-4.$

Bài 4. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Bài 5. Tính:

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

B. Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Ví dụ:

$\sqrt{45}=\sqrt{3^2.5}=3\sqrt{5}$;

$\sqrt{243a}=\sqrt{9^2.3a}=9\sqrt{3a}$.

Ví dụ: $\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4.7}{7^2}}=\sqrt{{\left(\frac{2}{7}\right)}^2.7}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

Ví dụ:

$5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2}=\sqrt{50}$;

Với $a\ge 0$ thì $-2\sqrt{a}=-\sqrt{2^2.a}=-\sqrt{4a}$.

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

Ví dụ:

$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{\left(3-2\sqrt{2}\right).\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\left(3+2\sqrt{2}\right)a$.

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=2\sqrt{3}-\sqrt{75}+\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}\\ =2\sqrt{3}-\sqrt{{3.5}^2}+\left|1-\sqrt{3}\right|\\ =2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\\ =-1-2\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}B=x\sqrt{x}-\frac{x^2-x}{\sqrt{x}+1}\\ =x\sqrt{x}-\frac{\left(x^2-x\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\\ =x\sqrt{x}-x\left(\sqrt{x}-1\right)\\ =x\sqrt{x}-x\sqrt{x}+x\\ =x\end{array}$

Sơ đồ tư duy Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai