Giải SGK Toán 9 Bài 8 (Kết nối tri thức): Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Giải bài tập Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

1. Khai căn bậc hai và phép nhân

HĐ1 trang 49 Toán 9 Tập 1: Tính và so sánh: $\sqrt{100}.\sqrt{4}$ và $\sqrt{100.4}.$

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{100}.\sqrt{4}=10.2=20;\sqrt{100.4}=\sqrt{400}=20$.

Từ đó ta có $\sqrt{100.4}=\sqrt{100}.\sqrt{4}$

Luyện tập 1 trang 49 Toán 9 Tập 1: a) Tính $\sqrt{3}.\sqrt{75}$

b) Rút gọn $\sqrt{5a{b}^3}.\sqrt{5ab}$ (với $a<0,b<0$) .

Lời giải:

a) Ta có: $\sqrt{3}.\sqrt{75}=\sqrt{3.75}=\sqrt{225}=15$

b) $\sqrt{5a{b}^3}.\sqrt{5ab}=\sqrt{5a{b}^3.5ab}=5a{b}^2$

Luyện tập 2 trang 50 Toán 9 Tập 1: a) Tính nhanh $\sqrt{25.49}.$

b) Phân tích thành nhân tử: $\sqrt{ab}-4\sqrt{a}$ (với $a\ge 0,b\ge 0$ ) .

Lời giải:

a) $\sqrt{25.49}=\sqrt{25}.\sqrt{49}=\sqrt{5^2}.\sqrt{7^2}=5.7=35$

b) Ta có $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$ mà $4\sqrt{a}=4.\sqrt{a}$ từ đó ta có nhân tử chung là $\sqrt{a}$ nên ta có $\sqrt{ab}-4\sqrt{a}=\sqrt{a}.\sqrt{b}-4\sqrt{a}=\sqrt{a}.\left(\sqrt{b}-4\right)$

2. Khai căn bậc hai và phép chia

HĐ2 trang 50 Toán 9 Tập 1: Tính và so sánh: $\sqrt{100}:\sqrt{4}$ và $\sqrt{100:4}.$

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{100}:\sqrt{4}=\sqrt{{10}^2}:\sqrt{2^2}=10:2=5$.

$\sqrt{100:4}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5.$

Từ đó ta có $\sqrt{100}:\sqrt{4}=\sqrt{100:4}.$

Luyện tập 3 trang 50 Toán 9 Tập 1: a) Tính $\sqrt{18}:\sqrt{50}.$

b) Rút gọn $\sqrt{16a{b}^2}:\sqrt{4a}$ (với $a>0,b<0$) .

Lời giải:

a) $\sqrt{18}:\sqrt{50}=\sqrt{\frac{18}{50}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\sqrt{{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$

b) $\sqrt{16a{b}^2}:\sqrt{4a}=\sqrt{\frac{16a{b}^2}{4a}}$$=\sqrt{4b^2}=\sqrt{{\left(2b\right)}^2}=\left|2b\right|=-2b.$

Luyện tập 4 trang 51 Toán 9 Tập 1: a) Tính $\sqrt{6,25}.$

b) Rút gọn $\left(a^2-1\right)\sqrt{\frac{5}{{\left(a-1\right)}^2}}\left(a>1\right).$

Lời giải:

a) $\sqrt{6,25}=\sqrt{625:100}$$=\sqrt{625}:\sqrt{100}=25:10=2,5.$

b)

$\left(a^2-1\right)\sqrt{\frac{5}{{\left(a-1\right)}^2}}=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{{\left(a-1\right)}^2}}=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\frac{\sqrt{5}}{\left|a-1\right|}$

(vì $a>1$ nên $\left|a-1\right|=a-1$) do đó ta có

$\left(a^2-1\right)\sqrt{\frac{5}{{\left(a-1\right)}^2}}=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{{\left(a-1\right)}^2}}=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\frac{\sqrt{5}}{a-1}=\left(a-1\right).\sqrt{5}$

Vận dụng trang 51 Toán 9 Tập 1: Công suất P (W) , hiệu điện thế U(V) , điện trở R(Ω) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức $U=\sqrt{PR}.$ Nếu công suất tăng lên 8 lần, điện trở giảm 2 lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có hiệu điện thế khi công suất tăng lên 8 lần và điện trở giảm 2 lần là $U=\sqrt{8P.\frac{R}{2}}=\sqrt{4PR}=2\sqrt{PR}$

Do đó tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó với hiệu điện thế ban đầu là $2\sqrt{PR}:\sqrt{PR}=2$

Tranh luận trang 51 Toán 9 Tập 1: Vì $\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=-3$ và $\sqrt{{\left(-12\right)}^2}=-12$ nên $\sqrt{{\left(-3\right)}^2.{\left(-12\right)}^2}=\left(-3\right).\left(-12\right)=36.$

Theo em, cách làm của Vuông có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có $\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\left|-3\right|=3$ và $\sqrt{{\left(-12\right)}^2}=\left|-12\right|=12$ nên $\sqrt{{\left(-3\right)}^2.{\left(-12\right)}^2}=3.12=36.$

Do đó bạn vuông làm sai.

Bài tập (trang 51)

Bài 3.7 trang 51 Toán 9 Tập 1: Tính:

a) $\sqrt{12}.\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right);$

b) $\sqrt{8}.\left(\sqrt{50}-\sqrt{2}\right);$

c) ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}.$

Lời giải:

a) $\sqrt{12}.\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)$

$\begin{array}{l}=\sqrt{12}.\sqrt{12}+\sqrt{12}.\sqrt{3}\\ =\sqrt{{12}^2}.\sqrt{36}\\ =12.6\\ =72\end{array}$

b) $\sqrt{8}.\left(\sqrt{50}-\sqrt{2}\right)$

$\begin{array}{l}=\sqrt{8}.\sqrt{50}-\sqrt{8}.\sqrt{2}\\ =\sqrt{400}-\sqrt{16}\\ =20-4\\ =16\end{array}$

c) ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}$

$\begin{array}{l}={\sqrt{3}}^2+2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2-2\sqrt{6}\\ =3+2\sqrt{6}+2-2\sqrt{6}\\ =5\end{array}$

Bài 3.8 trang 51 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{2\left(a^2-b^2\right)}.\sqrt{\frac{3}{a+b}}$ (với $a\ge b>0$) .

Lời giải:

$\begin{array}{l}\sqrt{2\left(a^2-b^2\right)}.\sqrt{\frac{3}{a+b}}\\ =\sqrt{2\left(a^2-b^2\right).\frac{3}{a+b}}\\ =\sqrt{2\left(a-b\right)\left(a+b\right)\frac{3}{a+b}}\\ =\sqrt{2\left(a-b\right)}\end{array}$

Bài 3.9 trang 51 Toán 9 Tập 1: Tính:

a) $\sqrt{99}:\sqrt{11};$

b) $\sqrt{7,84};$

c) $\sqrt{1815}:\sqrt{15}.$

Lời giải:

a) $\sqrt{99}:\sqrt{11}=\sqrt{99:11}=\sqrt{9}=3$

b) $\sqrt{7,84}=\sqrt{784:100}=\sqrt{784}:\sqrt{100}=28:10=2,8$

c) $\sqrt{1815}:\sqrt{15}=\sqrt{1815:15}=\sqrt{121}=11$

Bài 3.10 trang 51 Toán 9 Tập 1: Rút gọn $\frac{-3\sqrt{16a}+5a\sqrt{16a{b}^2}}{2\sqrt{a}}$ (với $a>0,b>0).$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{-3\sqrt{16a}+5a\sqrt{16a{b}^2}}{2\sqrt{a}}=\frac{-3.\sqrt{16}.\sqrt{a}+5a.\sqrt{16}.\sqrt{a}.\sqrt{b^2}}{2\sqrt{a}}=\frac{-\mathrm{3.4.}\sqrt{a}+5a.4.\left|b\right|.\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}=\frac{-12\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}+\frac{20ab\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}=-6+10ab$

Bài 3.11 trang 51 Toán 9 Tập 1: Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại ti vi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là 4:3.

a) Gọi x (inch) là chiều rộng của màn hình tivi. Viết công thức tính độ dài đường chéo d (inch) của màn hình ti vi theo x.

b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimet) của màn hình ti vi loại 40 inch.

Lời giải:

a) Ta có chiều rộng của màn hình ti vi hình chữ nhật là x (inch) mà tỉ lệ hai cạnh màn hình là 4:3 nên ta có chiều dài của màn hình ti vi hình chữ nhật là $\frac{4}{3}x$ (inch).

Độ dài đường chéo d (inch) là $d=\sqrt{x^2+{\left(\frac{4}{3}x\right)}^2}$ (inch) .

b) Ti vi loại 40 inch tức là chiều dài đường chéo d là 40 inch.

Do đó ta có $40=\sqrt{x^2+{\left(\frac{4}{3}x\right)}^2}$ nên ${40}^2=x^2+\frac{16}{9}{x}^2$ hay $\frac{25}{9}{x}^2={40}^2$ suy ra $x^2=576$ nên $x=24$ hoặc $x=-24$.

Mà $x>0$ do x là độ dài của chiều rộng nên $x=24.$

Với $x=24$ thì chiều dài của ti vi là $\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}.24=32$ (inch) .

Vậy chiều dài của ti vi là 32 inch và chiều rộng của ti vi là 24 inch.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Luyện tập chung trang 52

Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Luyện tập chung trang 63

Lý thuyết Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

1. Khai căn bậc hai và phép nhân

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân

Ví dụ:

$\sqrt{27}.\sqrt{3}=\sqrt{27.3}=\sqrt{81}=9$

$\sqrt{5}\left(\sqrt{125}+\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}.\sqrt{125}+\sqrt{5}.\sqrt{5}=\sqrt{5.125}+\sqrt{5.5}=25+5=30$

Chú ý:

– Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{A}.\sqrt{B}.\sqrt{C}=\sqrt{A.B.C}$ (với $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$).

Ví dụ: $\sqrt{3}.\sqrt{5}.\sqrt{15}=\sqrt{\mathrm{3.5.15}}=\sqrt{225}=15$

– Nếu $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$ thì $\sqrt{A^2{B}^2{C}^2}=ABC$.

Ví dụ: Với $a\ge 0,b<0$ thì$\sqrt{25a^2{b}^2}=\sqrt{5^2.a^2.{\left(-b\right)}^2}=\sqrt{5^2}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{\left(-b\right)}^2}=5.a.\left(-b\right)=-5ab$

2. Khai căn bậc hai và phép chia

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia

Ví dụ: $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$;

Với $a>0$ thì $\frac{\sqrt{52a^3}}{\sqrt{13a}}=\sqrt{\frac{52a^3}{13a}}=\sqrt{4a^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=2a$.