20 Bài tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Bài tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hệ phương trình

A. có một nghiệm.

B. vô nghiệm.

C. có vô số nghiệm.

D. có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hệ phương trình

Từ phương trình (2), ta có: y = –6 – 2x. (*)

Thế vào phương trình (1) ta được: 0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8. (**)

Giải phương trình (**):

0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8

0,6x – 1,8 – 0,6x = 1,8

0x = 3,6.

Do đó phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2. Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 2 x - 5 y = 1; \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 5 x + 6 y = 6 \\ 5 x + 2 y = 2; \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 5 x - 4 y = 3 \\ 2 x + y = 4. \end{cases}$

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 2 x - 5 y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 5 - 2 y \\ 2 (5 - 2 y) - 5 y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 5 - 2 y \\ - 9 y = - 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; 1).

b) $\{\begin{cases} 5 x + 6 y = 6 \\ 5 x + 2 y = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 x + 6 y - (5 x + 2 y) = 6 - 2 \\ x = \frac{2 - 2 y}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 y = 4 \\ x = \frac{2 - 2 y}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = 0 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (0; 1).

c) $\{\begin{cases} 5 x - 4 y = 3 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 x - 4 (4 - 2 x) = 3 \\ y = 4 - 2 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 x - 16 + 8 x = 3 \\ y = 4 - 2 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} 13 x = 19 \\ y = 4 - 2 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{19}{13} \\ y = \frac{14}{13} \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(\frac{19}{13}; \frac{14}{13})$

Bài 3. Giải các hệ phương trình:

a) $\{\begin{cases} 8 x - 4 y = - 12 \\ - 8 x + 9 y = 3; \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 12 x + 18 y = - 24 \\ - 2 x - 3 y = 4; \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = x y - 1 \\ (x - 3) (y - 3) = x y - 3. \end{cases}$

Hướng dẫn giải

a) Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 5y = –9 hay $y = - \frac{9}{5} .$

Thế $y = - \frac{9}{5}$ vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có $2 x + \frac{9}{5} = - 3$ hay $2 x = - \frac{24}{5},$ suy ra $x = - \frac{12}{5} .$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(- \frac{12}{5}; - \frac{9}{5}) .$

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 6, ta được hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} 12 x + 18 y = - 24 \\ - 12 x - 18 y = 24. \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình:

0x + 0y = 0, hay 0x = 0. Phương trình này có vô số nghiệm x ∈ ℝ.

Từ phương trình thứ hai ta có 3y = –2x – 4, suy ra $y = - \frac{2}{3} x - \frac{4}{3} .$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm $\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = - \frac{2}{3} x - \frac{4}{3} . \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = x y - 1 \\ (x - 3) (y - 3) = x y - 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x y - x + y - 1 = x y - 1 \\ x y - 3 x - 3 y + 9 = x y - 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - x + y = 0 \\ - 3 x - 3 y = - 12 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = y \\ x + x = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = y \\ 2 x = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 2).

Bài 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hệ phương trình $\{\begin{cases} 1, 5 x - 0, 6 y = 0, 3 \\ - 2 x + y = - 2 \end{cases}$

A. có nghiệm là (0; –0,5).

B. có nghiệm là (1; 0).

C. có nghiệm là (–3; –8).

D. vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} 1, 5 x - 0, 6 y = 0, 3 (1) \\ - 2 x + y = - 2 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (2), ta có: y = 2x – 2. (*)

Thế vào phương trình (1) ta được: 1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3. (**)

Giải phương trình (**):

1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3

1,5x – 1,2x + 1,2 = 0,3

0,3x = –0,9

x = –3.

Thay x = –3 vào phương trình (*), ta có:

y = 2.(–3) – 2 = –8.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (–3; –8).

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{cases} x + y = 5 \\ 3 x - 2 y = 5. \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} x + 7 y = 14 \\ 2 x + 14 y = 28. \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} \frac{3}{2} x - 2 y = 8 \\ 3 x - 4 y = 11. \end{cases}$

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{cases} x + y = 5 (1) \\ 3 x - 2 y = 5 (2) . \end{cases}$

Từ phương trình (1), ta có: x = 5 – y. (*)

Thế vào phương trình (2) ta được: 3.(5 – y) – 2y = 5. (**)

Giải phương trình (**):

3.(5 – y) – 2y = 5

15 – 3y – 2y = 5

15 – 5y = 5

–5y = –10

y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình (*), ta có:

x = 5 – 2 = 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (3; 2).

b) $\{\begin{cases} x + 7 y = 14 (3) \\ 2 x + 14 y = 28. (4) \end{cases}$

Từ phương trình (3), ta có: x = 14 – 7y. (***)

Thế vào phương trình (4) ta được: 2.(14 – 7y) + 14y = 28. (****)

Giải phương trình (****):

2.(14 – 7y) + 14y = 28

28 – 14y + 14y = 28

0y = 0.

Do đó phương trình (****) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

c) $\{\begin{cases} \frac{3}{2} x - 2 y = 8 (5) \\ 3 x - 4 y = 11 (6) \end{cases}$

Từ phương trình (5), ta có: $2 y = \frac{3}{2} x - 8,$ suy ra $y = \frac{3}{4} x - 4. (7)$

Thế vào phương trình (6) ta được: $3 x - 4 \cdot (\frac{3}{4} x - 4) = 11. (8)$

Giải phương trình (8):

$3 x - 4 \cdot (\frac{3}{4} x - 4) = 11$

3x – 3x + 16 = 11

0x = –5.

Do đó phương trình (8) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\{\begin{cases} - 0, 5 x + 0, 5 y = 1 \\ - 2 x + 2 y = 8. \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 2 x + 6 y = - 7 \\ 5 x - 2 y = - 9. \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 6 x + 10 y = - 4. \end{cases}$

Hướng dẫn giải:

a) $\{\begin{cases} - 0, 5 x + 0, 5 y = 1 (1 a) \\ - 2 x + 2 y = 8 (2 a) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (1a) với 4, ta được hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} - 2 x + 2 y = 4 (3 a) \\ - 2 x + 2 y = 8 (4 a) \end{cases}$

Trừ từng vế hai phương trình (3a) và (4a), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 12.

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $\{\begin{cases} 2 x + 6 y = - 7 (1 b) \\ 5 x - 2 y = - 9 (2 b) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (2b) với 3, ta được hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} 2 x + 6 y = - 7 (3 b) \\ 15 x - 6 y = - 27 (4 b) \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình (3b) và (4b), ta nhận được phương trình:

17x = –34, tức là x = –2.

Thay x = –2 vào phương trình (2b), ta có: 5.(–2) – 2y = –9. (5b)

Giải phương trình (5b):

5.(–2) – 2y = –9

–10 – 2y = –9

–2y = 1

$y = - \frac{1}{2} .$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(- 2; - \frac{1}{2}) .$

c) $\{\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 (1 c) \\ - 6 x + 10 y = - 4 (2 c) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (1c) với 2, ta được hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} 6 x - 10 y = 4 (3 c) \\ - 6 x + 10 y = - 4 (4 c) \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình (3c) và (4c), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 0.

Phương trình trên vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

B. Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lưu ý: Tùy theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + 2 y = 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = 2 x - 3$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x + 2 (2 x - 3) = 4$ hay $5 x - 6 = 4$ , suy ra $x = 2$ .

Từ đó $y = 2.2 - 3 = 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2; 1)$ .

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} x - y = - 2 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x = y - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $2 (y - 2) - 2 y = 8$ hay $0 y - 4 = 8$ .

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0 y - 4 = 8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình ${\begin{cases} - x + y = - 2 \\ 3 x - 3 y = 6 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y = x - 2$ .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $3 x - 3 (x - 2) = 6$ hay $0 x = 0$ .

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0 x = 0$ .

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y = x - 2$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x; x - 2)$ với $x \in R$ tùy ý.

2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).

Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình ${\begin{cases} 5 x - 7 y = 9 \\ 5 x - 3 y = 1 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $(5 x - 5 x) + (- 7 y + 3 y) = 9 - 1$ hay $- 4 y = 8$ , suy ra $y = - 2$ .

Thế $y = - 2$ vào phương trình thứ hai ta được $5 x - 7. (- 2) = 9$ hay $5 x + 14 = 9$ , suy ra $x = - 1$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (-1;-2).

2. Hệ phương trình ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 6 x + 10 y = - 4 \end{cases}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ ${\begin{cases} 3 x - 5 y = 2 \\ - 3 x + 5 y = - 2 \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0 x + 0 y = 0$ . Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3 x - 5 y = 2$ , suy ra $y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$ .

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $(x; \frac{3}{5} x - \frac{2}{5})$ với $x \in R$ .

3. Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bằng máy tính cầm tay

Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.

Ta viết phương trình cần giải dưới dạng ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \end{cases}$ .

Ví dụ: Giải hệ ${\begin{cases} 2 x + y - 4 = 0 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ , ta viết nó dưới dạng ${\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$ .

Khi đó, ta có $a_{1} = 2$ , $b_{1} = 1$ , $c_{1} = 4$ , $a_{2} = - 2$ , $b_{2} = 1$ , $c_{2} = 0$ . Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 1)

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 2)

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 3)

Bước 2. Ta nhập các hệ số $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ bằng cách bấm

Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 4)

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).

Chú ý:

– Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

– Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

– Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Sơ đồ tư duy Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài liên quan