Giải SGK Toán 9 Bài 7 (Kết nối tri thức): Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Giải bài tập Toán 9 Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

1. Căn bậc hai

HĐ1 trang 45 Toán 9 Tập 1: Tìm các số thực x sao cho $x^2=49.$

Lời giải:

Ta có $x^2=49={\left(-7\right)}^2=7^2$ nên $x=7$ và $x=-7.$

Vậy $x\in \left\{7;-7\right\}.$

Luyện tập 1 trang 45 Toán 9 Tập 1: Tìm căn bậc hai của 121.

Lời giải:

Ta có $\sqrt{121}=11$ nên 121 có hai căn bậc hai là 11 và -11.

Luyện tập 2 trang 45 Toán 9 Tập 1: Sử dụng MTCT tìm căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) .

Lời giải:

Ta có $\sqrt{\frac{7}{11}}\approx 0,80$ nên căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ là 0,80 và -0,80.

HĐ2 trang 45 Toán 9 Tập 1: Tính và so sánh $\sqrt{a^2}$ và $\left|a\right|$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $a=3;$

b) $a=-3.$

Lời giải:

a) $a=3;$

Ta có $a=3$ thì $\sqrt{a^2}=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$

$\left|3\right|=3$ nên $\sqrt{a^2}=\left|a\right|.$

b) $a=-3.$

Ta có $a=-3$ thì $\sqrt{a^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{9}=3$

$\left|-3\right|=3$ nên $\sqrt{a^2}=\left|a\right|.$

Luyện tập 3 trang 46 Toán 9 Tập 1: a) Không sử dụng MTCT, tính: $\sqrt{6^2};\sqrt{{\left(-5\right)}^2};\sqrt{5}-\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}.$

b) So sánh 3 với $\sqrt{10}$ bằng hai cách:

– Sử dụng MTCT;

– Sử dụng tính chất của căn bậc hai số học đã học ở lớp 7: Nếu $0\le a<7$ thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}.$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\sqrt{6^2}=6;\\ \sqrt{{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{25}=5;\\ \sqrt{5}-\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}=\sqrt{5}-\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)=\sqrt{5}-\sqrt{5}+1=1.\end{array}$

b)

– Sử dụng MTCT ta có $\sqrt{10}\approx 3,16$ nên $\sqrt{10}>3.$

– Sử dụng tính chất đã học của căn bậc hai số học ta có: $3=\sqrt{9}$ mà $9<10$ nên $\sqrt{9}<\sqrt{10}$ do đó $3<\sqrt{10}.$

2. Căn thức bậc hai

HĐ3 trang 46 Toán 9 Tập 1: Viết biểu thức tính độ dài cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, biết $AB=3cm,AC=xcm.$

Lời giải:

Biểu thức tính độ dài cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC là $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3^2+x}=\sqrt{9+x}\left(cm\right)$

HĐ4 trang 46 Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức $C=\sqrt{2x-1}.$

a) Tính giá trị của biểu thức tại $x=5.$

b) Tại $x=0$ có tính được giá trị của biểu thức không? Vì sao?

Lời giải:

a) Với $x=5$ thay vào biểu thức C ta có: $C=\sqrt{2.5-1}=\sqrt{9}=3.$

Vậy với $x=5$ thì $C=3.$

b) Với $x=0$ ta có biểu thức dưới dấu căn bậc hai số học là $2.0-1=-1<0$

Mà không có căn bậc hai số học của số âm.

Vậy ta không tính được giá trị của biểu thức C.

Luyện tập 4 trang 47 Toán 9 Tập 1: Cho căn thức $\sqrt{5-2x}.$

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại $x=2.$

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của $\sqrt{5-2x}$ là $5-2x\ge 0$ hay $-2x\ge 0-5$ suy ra $x\le \frac{5}{2}.$

b) Thay $x=2\left(t/m\right)$ vào căn thức ta có $\sqrt{5-2.2}=1.$

Luyện tập 5 trang 48 Toán 9 Tập 1: a) Rút gọn biểu thức $x\sqrt{x^6}\left(x<0\right).$

b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $x+\sqrt{4x^2-4x+1}$ tại $x=-2,5.$

Lời giải:

a) Ta có: $x\sqrt{x^6}=x.\sqrt{{\left(x^3\right)}^2}=x.\left|x^3\right|=x.-x^3=-x^4$ vì $\left(x<0\right).$

b) Ta có: $x+\sqrt{4x^2-4x+1}=x+\sqrt{{\left(2x-1\right)}^2}=x+\left|2x-1\right|$

Tại $x=-2,5$ ta có giá trị của biểu thức là:

$-2,5+\left|2.\left(-2,5\right)+1\right|=-2,5+4=1,5.$

Vận dụng trang 48 Toán 9 Tập 1: Trở lại tình huống mở đầu.

Tình huống mở đầu

Trong Vật lí, quãng đường S (tính bằng mét) của một vật tự rơi tự do được cho bởi công thức $S=4,9t^2,$ trong đó t là thời gian rơi (tính bằng giây) . Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét?

a) Viết công thức tính thời gian t (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường S (mét)

b) Sử dụng công thức tìm được trong câu a, hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu

Lời giải:

a) Từ công thức $S=4,9t^2$ ta có $t^2=\frac{S}{4,9}$ suy ra thời gian vật rơi được quãng đường S là:

$t=\sqrt{\frac{S}{4,9}}$ (giây)

b) Thời gian vật rơi được quãng đường 122,5 mét là:

$t=\sqrt{\frac{122,5}{4,9}}=5$ (giây) .

Vậy sau 5 giây thì vật sẽ chạm đất nếu rơi từ độ cao 122,5 mét.

Bài tập (trang 48)

Bài 3.1 trang 48 Toán 9 Tập 1: Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) :

a) 24,5;

b) $\frac{9}{10}.$

Lời giải:

a) Ta có $\sqrt{24,5}\approx 4,95$ nên căn bậc hai của 24,5 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 4,95 và -4,95.

b) Ta có $\sqrt{\frac{9}{10}}\approx 0,95$ nên căn bậc hai của $\frac{9}{10}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 0,95 và -0,95.

Bài 3.2 trang 48 Toán 9 Tập 1: Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng $2m^2.$ Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Lời giải:

Bán kính của ô đất là $R=\sqrt{\frac{2}{3,14}}$

Độ chính xác là 0,005 là làm tròn đến hàng phần trăm tức là $R=\sqrt{\frac{2}{3,14}}=0,7980868845$ nên $R\approx 0,80$

Bài 3.3 trang 48 Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x+10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x=-1.$

Lời giải:

Điều kiện xác định của $\sqrt{x+10}$ là $x+10\ge 0$ hay $x\ge -10$

Thay $x=-1$ vào căn thức ta được $\sqrt{-1+10}=\sqrt{9}=3$

Bài 3.4 trang 48 Toán 9 Tập 1: Tính: $\sqrt{5,1^2};\sqrt{{\left(-4,9\right)}^2};-\sqrt{{\left(-0,001\right)}^2}.$

Lời giải:

Ta có:

$\sqrt{5,1^2}=\left|5,1\right|=5,1;\sqrt{{\left(-4,9\right)}^2}=\left|4,9\right|=4,9;-\sqrt{{\left(-0,001\right)}^2}=-\left|0,001\right|=-0,001.$

Bài 3.5 trang 48 Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2};$

b) $3\sqrt{x^2}-x+1\left(x<0\right);$

c) $\sqrt{x^2-4x+4}\left(x<2\right).$

Lời giải:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}=\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$

b) $3\sqrt{x^2}-x+1=3.\left|x\right|-x+1=-3x-x+1=-4x+1$

c) $\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{{\left(x-2\right)}^2}=\left|x-2\right|=2-x$

Bài 3.6 trang 48 Toán 9 Tập 1: Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức A có giá trị là số nguyên:

$A=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{{\left(1-2\sqrt{2}\right)}^2}.$

Lời giải:

$\begin{array}{l}A=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{{\left(1-2\sqrt{2}\right)}^2}\\ =\left|1+2\sqrt{2}\right|-\left|1-2\sqrt{2}\right|\\ =1+2\sqrt{2}-\left(2\sqrt{2}-1\right)\\ =1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1\\ =2\end{array}$

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Luyện tập chung trang 52

Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Lý thuyết Căn bậc hai và căn thức bậc hai

1. Căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai

Nhận xét:

– Số âm không có căn bậc hai.

– Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.

– Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của a) và $-\sqrt{a}$.

Ví dụ:

• $\sqrt{81}=9$ nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.
• Căn bậc hai số học của 121 là $\sqrt{121}=11$.

Tính căn bậc hai của một số bằng máy tính cầm tay

Ví dụ:

Bấm lần lượt các phím  ta tính được $\sqrt{11,1}\approx 3,33$.

Vậy căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 3,33 và -3,33.

Tính chất của căn bậc hai

Ví dụ: $\sqrt{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2}=\left|1+\sqrt{2}\right|=1+\sqrt{2}$; $\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\left|-3\right|=3$.

2. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Ví dụ: $\sqrt{2x-1}$, $\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$ là các căn thức bậc hai.

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

Ví dụ: Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{2x+1}$ là $2x+1\ge 0$ hay $x\ge -\frac{1}{2}$.

Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$ là $-\frac{1}{3}x+2\ge 0$ hay $x\le 6$.

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Với A là một biểu thức, ta có:

Ví dụ: Với $x<0$, ta có 1 – x > 0. Do đó ${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2=1-x$.