20 Bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. Bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 3x – 7 là số dương;

b) Giá trị của biểu thức $\frac{2}{3} x + 1$ là số không âm.

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của biểu thức 3x – 7 là số dương. Ta có:

3x – 7 > 0

3x > 7

$x > \frac{7}{3} .$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > \frac{7}{3} .$

b) Giá trị của biểu thức $\frac{2}{3} x + 1$ là số không âm. Ta có:

$\frac{2}{3} x + 1 \leq 0$

$\frac{2}{3} x \leq - 1$

$x \leq - \frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \leq - \frac{3}{2}$ .

Bài 2. Nghiệm của bất phương trình 5 – 2x ≥ 0 là

A. $x \geq \frac{5}{2} .$

B. $x \geq - \frac{5}{2} .$

C. $x \leq - \frac{5}{2} .$

D. $x \leq \frac{5}{2} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 5 – 2x ≥ 0

5 ≥ 2x

2x ≤ 5

$x \leq \frac{5}{2} .$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \leq \frac{5}{2} .$

Bài 3. Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 2x + 6 là số dương;

b) Giá trị của biểu thức 4x – 1 là số không âm.

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của biểu thức 2x + 6 là số dương. Ta có:

2x + 6 > 0

2x > –6

x > –3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > –3.

b) Giá trị của biểu thức 4x – 1 là số không âm. Ta có:

4x – 1≤ 0

4x ≤1

$x \leq \frac{1}{4} .$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \leq \frac{1}{4} .$

Bài 4. Bạn An đi taxi công nghệ đến trường, biết rằng đi taxi công nghệ rẻ bằng nửa giá mỗi km so với đi taxi truyền thống nhưng chịu giá mở cửa xe là 12 000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng bạn An phải trả số tiền lớn hơn 42 000 đồng và nhỏ hơn 52 000 đồng. Tính số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường, biết nếu đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền bạn An phải trả khi đi taxi truyền thống là x (đồng). (x > 0)

Khi đó, số tiền bạn An phải trả khi đi taxi công nghệ là $\frac{x}{2} + 12 000$ (đồng).

Theo bài, ta có bất phương trình:

$\frac{x}{2} + 12 000 > 42 000 (1)$ và $\frac{x}{2} + 12 000 < 52 000 (2)$

Giải bất phương trình (1):

$\frac{x}{2} + 12 000 > 42 000$

$\frac{x}{2} > 30 000$

x > 60 000. (*)

Giải bất phương trình (2):

$\frac{x}{2} + 12 000 < 52 000$

$\frac{x}{2} < 40 000$

x < 80 000. (**)

Từ (*) và (**) ta có 60 000 < x < 80 000.

Mà khi đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn nên ta có x = 70 000.

Vậy số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường là 70 000 đồng.

Bài 5. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x - 3}{3} \geq \frac{3 x - 2}{4} .$

b) $\frac{3 x + 5}{2} - 1 \leq \frac{x + 2}{3} + x .$

c) $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2} .$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2 x - 3}{3} \geq \frac{3 x - 2}{4} .$

$\frac{4 (2 x - 3)}{12} \geq \frac{3 (3 x - 2)}{12}$

4(2x – 3) ≥ 3(3x – 2)

8x – 12 ≥ 9x – 6

8x – 9x ≥ – 6 + 12

–x ≥ 6

x ≤ –6.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –6.

b) $\frac{3 x + 5}{2} - 1 \leq \frac{x + 2}{3} + x$

$\frac{3 (3 x + 5)}{6} - \frac{6}{6} \leq \frac{2 (x + 2)}{6} + \frac{6 x}{6}$

3(3x + 5) – 6 ≤ 2(x + 2) + 6x

9x + 15 – 6 ≤ 2x + 4 + 6x

9x – 2x – 6x ≤ 4 – 15 + 6

x ≤ –5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –5.

c) $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$

$(\frac{x + 2}{6} + 1) + (\frac{x + 5}{3} + 1) > (\frac{x + 3}{5} + 1) + (\frac{x + 6}{2} + 1)$

$\frac{x + 2 + 6}{6} + \frac{x + 5 + 3}{3} - \frac{x + 3 + 5}{5} - \frac{x + 6 + 2}{2} > 0$

$\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} - \frac{x + 8}{5} - \frac{x + 8}{2} > 0$

$(x + 8) (\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2}) > 0$

$(x + 8) (\frac{5}{30} + \frac{10}{30} - \frac{6}{30} - \frac{15}{30}) > 0$

$(x + 8) \cdot \frac{- 6}{30} > 0$

x + 8 < 0

x < –8.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < –8.

B. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng $a x + b < 0$ (hoặc $a x + b > 0$ ; $a x + b \leq 0$ ; $a x + b \geq 0$ ) trong đó a, b là hai số đã cho, $a \neq 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn là x).

Ví dụ: $3 x + 16 \leq 0$ ; $- 3 x > 0$ là các bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

$x^{2} - 4 \geq 0$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì $x^{2} - 4$ là một đa thức bậc hai.

$3 x - 2 y < 2$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn vì đa thức $3 x - 2 y$ là đa thức với hai biến x và y.

Nghiệm của bất phương trình

Với bất phương trình bậc nhất có ẩn là x, số $x_{0}$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu ta thay $x = x_{0}$ thì nhận được một khẳng định đúng.

Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ:

$x = - 2$ là nghiệm của bất phương trình $2 x - 10 < 0$ vì $2. (- 2) - 10 = - 4 - 10 = - 14 < 0$ .

$x = 6$ không là nghiệm của bất phương trình $2 x - 10 < 0$ vì $2.6 - 10 = 12 - 10 = 2 > 0$ .

2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Xét bất phương trình $a x + b > 0 (a \neq 0)$ .

– Cộng hai vế của bất phương trình với –b, ta được bất phương trình:

$a x > - b$ .

– Nhân hai vế của bất phương trình nhận được với $\frac{1}{a}$ :

+ Nếu $a > 0$ thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x > - \frac{b}{a}$ .

+ Nếu $a < 0$ thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x < - \frac{b}{a}$ .

Chú ý: Với các bất phương trình $a x + b < 0$ , $a x + b \leq 0$ , $a x + b \geq 0$ , ta thực hiện các bước giải tương tự.

Ví dụ: Giải bất phương trình $- 2 x - 4 > 0$

Lời giải: Ta có:

$\begin{array}{l} - 2 x - 4 > 0 \\ - 2 x > 0 + 4 \\ - 2 x > 4 \\ x < 4. (- \frac{1}{2}) \\ x < - 2 \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 2$ .

Chú ý: Bằng cách sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể giải một số bất phương trình đưa được về bất phương trình bậc nhất một ẩn $a x + b < 0$ , $a x + b > 0$ , $a x + b \leq 0$ , $a x + b \geq 0$ .

Sơ đồ tư duy Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài liên quan