Giải SGK Toán 9 Bài 9 (Kết nối tri thức): Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải bài tập Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

HĐ1 trang 54 Toán 9 Tập 1: Tính và so sánh $\sqrt{{(- 3)}^{2} .25}$ với $| - 3 | . \sqrt{25}$

Lời giải:

Ta có $\sqrt{{(- 3)}^{2} .25} = \sqrt{9.25} = \sqrt{225} = 15$

$| - 3 | . \sqrt{25} = 3.5 = 15$

Do đó ta có $\sqrt{{(- 3)}^{2} .25} = | - 3 | . \sqrt{25}$

Luyện tập 1 trang 55 Toán 9 Tập 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{12};$

b) $3 \sqrt{27};$

c) $5 \sqrt{48} .$

Lời giải:

a) $\sqrt{12} = \sqrt{4.3} = \sqrt{2^{2} .3} = 2 \sqrt{3}$

b) $3 \sqrt{27} = 3 \sqrt{9.3} = 3. \sqrt{3^{2} .3} = 3.3. \sqrt{3} = 9 \sqrt{3}$

c) $5 \sqrt{48} = 5. \sqrt{16.3} = 5. \sqrt{4^{2} .3} = 5.4. \sqrt{3} = 20 \sqrt{3}$

Luyện tập 2 trang 55 Toán 9 Tập 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{3}{5}} .$

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{3.5}{5.5}} = \sqrt{\frac{15}{5^{2}}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5^{2}}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Tranh luận trang 55 Toán 9 Tập 1: Vuông làm: $\sqrt{{(- 2)}^{2} .5} = - 2 \sqrt{5}$

Em có đồng ý với cách làm của Vuông không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{a^{2} . b} = | a | . \sqrt{b}$ nên $\sqrt{{(- 2)}^{2} .5} = | - 2 | . \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$

Vậy ta có thể kết luận Vuông làm sai.

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

HĐ2 trang 55 Toán 9 Tập 1: Tính và so sánh:

a) $5. \sqrt{4}$ với $\sqrt{5^{2} .4};$

b) $- 5. \sqrt{4}$ với $- \sqrt{{(- 5)}^{2} .4}$

Lời giải:

a) Ta có $5. \sqrt{4} = 5.2 = 10$ ; $\sqrt{5^{2} .4} = \sqrt{100} = 10$ .

Do đó $5. \sqrt{4} = \sqrt{5^{2} .4}$

b) $- 5. \sqrt{4} = - 5.2 = - 10$ ; $- \sqrt{{(- 5)}^{2} .4} = - | - 5 | . \sqrt{4} = - 5.2 = - 10$ .

Do đó $- 5. \sqrt{4} = - \sqrt{{(- 5)}^{2} .4}$

Luyện tập 3 trang 56 Toán 9 Tập 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3 \sqrt{5};$

b) $- 2 \sqrt{7} .$

Lời giải:

a) Ta có $3 \sqrt{5} = \sqrt{3^{2}} . \sqrt{5} = \sqrt{9.5} = \sqrt{45}$

b) Ta có $- 2 \sqrt{7} = - (2 \sqrt{7}) = - \sqrt{2^{2}} . \sqrt{7} = - \sqrt{28}$

3. Trục căn thức ở mẫu

HĐ3 trang 56 Toán 9 Tập 1: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{3 a}{2 \sqrt{2}}$ với $\sqrt{2}$ và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Lời giải:

Ta có: $\frac{3 a}{2 \sqrt{2}} = \frac{3 a . \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} . \sqrt{2}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{2.2} = \frac{3 \sqrt{2} a}{4}$

HĐ4 trang 56 Toán 9 Tập 1: Cho hai biểu thức $\frac{- 2}{\sqrt{3} + 1}$ và $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} .$ Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:

a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Lời giải:

a) Biểu thức liên hợp của $\sqrt{3} + 1$ là $\sqrt{3} - 1$ và của $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ là $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

b) Ta có:

$\frac{- 2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{- 2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ ; $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

c) $\frac{- 2}{\sqrt{3} + 1}$ $= \frac{- 2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ $= \frac{- 2 \sqrt{3} + 2}{3 - 1}$ $= \frac{- 2 \sqrt{3} + 2}{2}$ $= - \sqrt{3} + 1$

$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ $= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}$ $= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2}$ $= \sqrt{3} + \sqrt{2}$

Luyện tập 4 trang 57 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\frac{- 5 \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{3}};$

b) $\frac{a^{2} - 2 a}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} (a \geq 0, a \neq 2) .$

Lời giải:

a) $\frac{- 5 \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{3}} = \frac{- 5 \sqrt{x^{2} + 1} . \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} . \sqrt{3}} = \frac{- 5 \sqrt{3 (x^{2} + 1)}}{6}$

b) $\frac{a^{2} - 2 a}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}$ $= \frac{a (a - 2) (\sqrt{a} - \sqrt{2})}{(\sqrt{a} + \sqrt{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{2})}$ $= \frac{a (a - 2) (\sqrt{a} - \sqrt{2})}{a - 2}$ $= a (\sqrt{a} - \sqrt{2})$

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc 2

Luyện tập 5 trang 58 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức sau:

$(\frac{\sqrt{22} - \sqrt{11}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{3}}) (\sqrt{7} - \sqrt{11}) .$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} (\frac{\sqrt{22} - \sqrt{11}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{3}}) (\sqrt{7} - \sqrt{11}) \\ = (\frac{\sqrt{11} (\sqrt{2} - 1)}{- (\sqrt{2} - 1)} + \frac{\sqrt{7} (\sqrt{3} - 1)}{- (\sqrt{3} - 1)}) (\sqrt{7} - \sqrt{11}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (- \sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{7} - \sqrt{11}) \\ = - (\sqrt{7} + \sqrt{11}) (\sqrt{7} - \sqrt{11}) \\ = - (7 - 11) = - 4 \end{array}$

Vận dụng trang 58 Toán 9 Tập 1: Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}},$ trong đó $m_{0}$ (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .

a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng m theo $m_{0}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ $v = \frac{1}{10} c .$

Lời giải:

a) Ta có: $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{m_{0} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

b) Với $v = \frac{1}{10} c$ , ta có $\frac{v^{2}}{c^{2}} = {(\frac{1}{10})}^{2} = \frac{1}{100}$

Nên $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{1}{100}}} = \frac{m_{0}}{\sqrt{\frac{99}{100}}} = \frac{10 m_{0}}{9 \sqrt{11}} = \frac{10 m_{0} \sqrt{11}}{99}$

Bài tập (trang 59)

Bài 3.17 trang 59 Toán 9 Tập 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{75};$

b) $\sqrt{27 a} (a \geq 0);$

c) $\sqrt{50 \sqrt{2} + 100};$

d) $\sqrt{9 \sqrt{5} - 18} .$

Lời giải:

a) $\sqrt{75} = \sqrt{25.3} = \sqrt{5^{2} .3} = 5 \sqrt{3}$

b) $\sqrt{27 a} = \sqrt{9.3} = \sqrt{3^{2} .3} = 3 \sqrt{3}$

c) $\sqrt{50 \sqrt{2} + 100}$ $= \sqrt{25.2 \sqrt{2} + 25.4}$ $= \sqrt{25 (2 \sqrt{2} + 4)}$ $= 5 \sqrt{2 \sqrt{2} + 4}$

d) $\sqrt{9 \sqrt{5} - 18} = \sqrt{9 (\sqrt{5} - 2)} = 3 \sqrt{\sqrt{5} - 2}$

Bài 3.18 trang 59 Toán 9 Tập 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3 \sqrt{2};$

b) $- 2 \sqrt{7};$

c) $4 \sqrt{\frac{15}{2}};$

d) $- 5 \sqrt{\frac{16}{5}} .$

Lời giải:

a) $3 \sqrt{2} = \sqrt{9} . \sqrt{2} = \sqrt{18}$

b) $- 2 \sqrt{7} = - \sqrt{4} . \sqrt{7} = - \sqrt{28}$

c) $4 \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{16} . \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{16. \frac{15}{2}} = \sqrt{120}$

d) $- 5 \sqrt{\frac{16}{5}} = - \sqrt{25} . \sqrt{\frac{16}{5}} = - \sqrt{25. \frac{16}{5}} = - \sqrt{80}$

Bài 3.19 trang 59 Toán 9 Tập 1: Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2 a . \sqrt{\frac{3}{5}};$

b) $- 3 x . \sqrt{\frac{5}{x}} (x > 0);$

c) $- \sqrt{\frac{3 a}{b}} (a \geq 0, b > 0) .$

Lời giải:

a) $2 a . \sqrt{\frac{3}{5}} = 2 a . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 2 a . \frac{\sqrt{3} . \sqrt{5}}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = 2 a \frac{\sqrt{15}}{5}$

b) $- 3 x . \sqrt{\frac{5}{x}} = - 3 x . \frac{\sqrt{5} . \sqrt{x}}{\sqrt{x} . \sqrt{x}} = - 3 x . \frac{\sqrt{5 x}}{x} = - 3 \sqrt{x}$

c) $- \sqrt{\frac{3 a}{b}} = - \frac{\sqrt{3 a}}{\sqrt{b}} = - \frac{\sqrt{3 a b}}{\sqrt{b} . \sqrt{b}} = \frac{- \sqrt{3 a b}}{b}$

Bài 3.20 trang 59 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{4 + 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}};$

b) $\frac{1}{\sqrt{5} - 2};$

c) $\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}};$

d) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} .$

Lời giải:

a) $\frac{4 + 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(4 + 3 \sqrt{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5} + 15}{5}$

b) $\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1. (\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

c) $\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ $= \frac{(3 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$ $= \frac{3 + 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{1 - 3}$ $= \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{- 2}$

d) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - 2}{3 - 2} = \sqrt{6} - 2$

Bài 3.21 trang 59 Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2 \sqrt{\frac{2}{3}} - 4 \sqrt{\frac{3}{2}};$

b) $\frac{5 \sqrt{48} - 3 \sqrt{27} + 2 \sqrt{12}}{\sqrt{3}};$

c) $\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}} + \frac{4 \sqrt{2} - 4}{2 - \sqrt{2}} .$

Lời giải:

a) $2 \sqrt{\frac{2}{3}} - 4 \sqrt{\frac{3}{2}}$ $= 2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ $= 2. \frac{\sqrt{6}}{3} - 4. \frac{\sqrt{6}}{2}$ $= \sqrt{6} (\frac{2}{3} - 2)$ $= \frac{- 4 \sqrt{6}}{3} .$

b) $\frac{5 \sqrt{48} - 3 \sqrt{27} + 2 \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ $= \frac{5 \sqrt{16.3} - 3 \sqrt{9.3} + 2 \sqrt{4.3}}{\sqrt{3}}$ $= \frac{\sqrt{3} . (5 \sqrt{16} - 3 \sqrt{9} + 2 \sqrt{4})}{\sqrt{3}}$ $= 5.4 - 3.3 + 2.2$ $= 20 - 9 + 4$ $= 15$

c) $\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}} + \frac{4 \sqrt{2} - 4}{2 - \sqrt{2}}$ $= \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{(3 + 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2})} + \frac{4 (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)}$ $= \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{9 - 8} + \frac{4}{\sqrt{2}}$ $= 3 - 2 \sqrt{2} + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

$= 3 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$ $= 3$

Bài 3.22 trang 59 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{x} (\frac{1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}}) (x \geq 0, x \neq 9) .$

Lời giải:

$\begin{array}{l} A = \sqrt{x} (\frac{1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}}) \\ = \sqrt{x} . (\frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} - \frac{3 + \sqrt{x}}{9 - x}) \\ = \sqrt{x} (\frac{\sqrt{x} - 3 + 3 + \sqrt{x}}{x - 9}) \\ = \sqrt{x} .2 \sqrt{x} \\ = 2 x \end{array}$

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 52

Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Luyện tập chung trang 63

Bài tập cuối chương 3

Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^{2} . b} = | a | \sqrt{b}$ .

Ví dụ:

$\sqrt{45} = \sqrt{3^{2} .5} = 3 \sqrt{5}$ ;

$\sqrt{243 a} = \sqrt{9^{2} .3 a} = 9 \sqrt{3 a}$ .

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

Ví dụ: $\sqrt{\frac{4}{7}} = \sqrt{\frac{4.7}{7^{2}}} = \sqrt{{(\frac{2}{7})}^{2} .7} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

– Nếu a và b là hai số không âm thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ .

– Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b}$ .

Ví dụ:

$5 \sqrt{2} = \sqrt{5^{2} .2} = \sqrt{50}$ ;

Với $a \geq 0$ thì $- 2 \sqrt{a} = - \sqrt{2^{2} . a} = - \sqrt{4 a}$ .

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

– Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$ .

– Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

– Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0, A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}; \frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$ .

Ví dụ:

$\frac{2}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3.5} = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ ;

$\frac{a}{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{(3 - 2 \sqrt{2}) . (3 + 2 \sqrt{2})} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{9 - 8} = (3 + 2 \sqrt{2}) a$ .

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Ví dụ:

$\begin{array}{l} A = 2 \sqrt{3} - \sqrt{75} + \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}} \\ = 2 \sqrt{3} - \sqrt{{3.5}^{2}} + | 1 - \sqrt{3} | \\ = 2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 \\ = - 1 - 2 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} B = x \sqrt{x} - \frac{x^{2} - x}{\sqrt{x} + 1} \\ = x \sqrt{x} - \frac{(x^{2} - x) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = x \sqrt{x} - \frac{x (x - 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = x \sqrt{x} - \frac{x (x - 1) (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \\ = x \sqrt{x} - x (\sqrt{x} - 1) \\ = x \sqrt{x} - x \sqrt{x} + x \\ = x \end{array}$

Bài liên quan