20 Bài tập Căn bậc hai và căn thức bậc hai lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Căn bậc hai và căn thức bậc hai

A. Bài tập Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 1. Rút gon các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(3+\sqrt{4}\right)}^2};$

b) $\sqrt{x^2-6x+9}$ với x < 3.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|,$ ta có $\sqrt{{\left(3+\sqrt{4}\right)}^2}=\left|3+\sqrt{4}\right|.$

Vì $3+\sqrt{4}>0$ suy ra $\left|3+\sqrt{4}\right|=3+\sqrt{4}=3+2=5$ ∀ x.

b) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|,$ ta có $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\left|x-3\right|.$

Do giả thiết x < 3 suy ra x – 3 < 0 nên $\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)=3-x.$

Vì vậy$\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=3-x$ với x < 3.

Bài 2. Tìm giá trị của x, biết:

a) x² + 36 = 0;

b) $\sqrt{x}-4=\frac{1}{3};$

c) $\sqrt{x^2-6x+9}-1=3.$

Hướng dẫn giải

a) Xét biểu thức: x² + 36 = 0 hay x² = −36

Suy ra biểu thức vô nghiệm vì x² ≥ 0 ∀x.

b) Xét căn thức $\sqrt{x}:$

Điều kiện xác định của căn thức là x ≥ 0.

Ta có: $\sqrt{x}-4=\frac{1}{3}$

$\sqrt{x}=\frac{13}{3}$

$x={\left(\frac{13}{3}\right)}^2$

$x=\frac{169}{9}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=\frac{169}{9}.$

c) Xét căn thức $\sqrt{x^2-6x+9}:$

Điều kiện xác định của căn thức là x² – 6x + 9 =(x – 3)² ≥ 0 ∀x.

Suy ra căn thức có nghĩa với mọi x.

Ta có: $\sqrt{x^2-6x+9}-1=3$

$\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=4$

$\left|x-3\right|=16=4^2$

x – 3 = 4 hoặc x – 3 = –4

x = 7 hoặc x = –1

Vậy x ∈ {−1; 7}.

Bài 3. Số nào sau đây là căn bậc hai của 100?

A. 10;

B. –10;

C. 50;

D. –10 và 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 10² = 100 và (–10)² = 100 nên số 10 và –10 là căn bậc hai của 100.

Bài 4. Số 25 là căn bậc hai của số nào sau đây?

A. 5;

B. 12,5;

C. 625;

D. Một đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bài 5. Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 0,25;

b) $\frac{16}{81}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $0,25=\frac{1}{4}$ mà $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$ nên 0,25 có hai căn bậc hai là 0,5 và −0,5.

b) Ta có $\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}=\frac{4}{9}\approx 0,44$ nên $\frac{16}{81}$ có hai căn bậc hai là 0,44 và −0,44.

Ta có 25² = 625 nên 25 là căn bậc hai của số 625.

B. Lý thuyết Căn bậc hai và căn thức bậc hai

1. Căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai

Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho $x^2=a$.

Nhận xét:

– Số âm không có căn bậc hai.

– Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.

– Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của a) và $-\sqrt{a}$.

Ví dụ:

• $\sqrt{81}=9$ nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.
• Căn bậc hai số học của 121 là $\sqrt{121}=11$.

Tính căn bậc hai của một số bằng máy tính cầm tay

Để tính các căn bậc hai của một số $a>0$, chỉ cần tính $\sqrt{a}$. Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT. Sử dụng nút này để bấm căn bậc hai.

Ví dụ:

Bấm lần lượt các phím  ta tính được $\sqrt{11,1}\approx 3,33$.

Vậy căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 3,33 và -3,33.

Tính chất của căn bậc hai

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ với mọi số thực a.

Ví dụ: $\sqrt{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2}=\left|1+\sqrt{2}\right|=1+\sqrt{2}$; $\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\left|-3\right|=3$.

2. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ: $\sqrt{2x-1}$, $\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$ là các căn thức bậc hai.

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

$\sqrt{A}$ xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là $A\ge 0$. Ta nói $A\ge 0$ là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$.

Ví dụ: Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{2x+1}$ là $2x+1\ge 0$ hay $x\ge -\frac{1}{2}$.

Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$ là $-\frac{1}{3}x+2\ge 0$ hay $x\le 6$.

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Với A là một biểu thức, ta có:

Với $A\ge 0$ ta có $\sqrt{A}\ge 0$; ${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$; $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

Ví dụ: Với $x<0$, ta có 1 – x > 0. Do đó ${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2=1-x$.

Sơ đồ tư duy Căn bậc hai và căn thức bậc hai