20 Bài tập Hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Hình quạt tròn và hình vành khuyên

A. Bài tập Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Bài 1. Cho đường tròn có bán kính 2 cm, độ dài cung tròn có số đo 10° là

A. $\frac{2\pi }{9}$ cm;

B. $\frac{\pi }{9}$ cm;

C. $\frac{\pi }{18}$ cm;

D. 9π cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Độ dài cung tròn đó là: $l=\frac{\pi \cdot 2\cdot 10}{180}=\frac{\pi }{9}$ (cm).

Bài 2. Hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung có số đo bằng 90° có diện tích bằng

A. $\frac{\pi R^2}{2};$

B. πR²;

C. $\frac{\pi R^2}{8};$

D.$\frac{\pi R^2}{4};$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình quạt tròn đó là: $S=\frac{\pi R^2\cdot 90}{360}=\frac{\pi R^2}{4}.$

Bài 3. Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây bằng 2,5 cm;

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm);

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB;

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm.

Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B.

Khi đó, ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R; OH chung; $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$.

Do đó ∆OAH = ∆OBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AH = BH (hai cạnh tương ứng) và AB = 2AH.

Xét ∆OAH vuông tại H có: AH² + OH² = OA² (định lí Pythagore)

Hay AH² = OA² – OH² = 5² – 2,5² = 18,75.

Suy ra $AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (cm) và $AB=2.\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8,66$ (cm).

Vậy độ dài của dây AB khoảng 8,66 cm.

c) Xét ∆OAH vuông tại H có:

$\cos \widehat{AOH}=\frac{OH}{OA}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$ suy ra $\widehat{AOH}=60°.$

Mà ∆OAH = ∆OBH suy ra $\widehat{BOH}=\widehat{AOH}=60°$  (hai góc tương ứng)

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOH}+\widehat{AOH}=60°+60°=120°$ và $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°.$

Độ dài cung AB là: $\frac{120}{180}.\pi .5=\frac{10}{3}\pi$ (cm).

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°$  và độ dài cung nhỏ AB bằng $\frac{10}{3}\pi cm$ .

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

$\frac{\pi .5^2.120}{360}=\frac{25\pi }{3}$ (cm²).

Vậy diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB bằng $\frac{25\pi }{3}$ cm².

Bài 4. Tính độ dài các cung 60°; 90°; 150° của đường tròn (O; 5 cm) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Cung 60°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .5.60}{180}=\frac{5\pi }{3}\approx 5,23$  (cm).

Cung 90°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.90}}{180}=\frac{5\pi }{2}\approx 7,85$ (cm).

Cung 150°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.60}}{180}=\frac{25\pi }{6}\approx 13,09$

Bài 5. Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có dạng nửa đường tròn bán kính 2 dm (như hình vẽ). Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,5 dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm²).

Hướng dẫn giải

Bán kính phần rỗng (không có giấy) của chiếc quạt là:

r = 2 – 1,5 = 0,5 (dm).

Diện tích phần giấy của chiếc quạt là:

S = π(2² – 0,5²) = 3,75π ≈ 11,78 (dm²).

Vậy diện tích phần giấy của chiếc quạt khoảng 11,78 dm².

B. Lý thuyết Hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Độ dài cung tròn

Công thức tính chu vi đường tròn

Công thức tính độ dài C của đường tròn (O; R), đường kính d = 2R là:

$C=\pi d=2\pi R$

Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung có số đo $n^0$ được tính theo công thức: $l=\frac{\pi Rn}{180}$.

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), $\widehat{AOB}={60}^0$.

– Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\stackrel{⌢}{AB}=\widehat{AOB}={60}^0$

Độ dài $l_1$ của cung AB là:

$l_1=\frac{n}{180}\pi R=\frac{60}{180}\pi .2=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1\left(cm\right)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\stackrel{⌢}{AmN}={360}^o-{60}^0={300}^0$.

Độ dài $l_2$ của cung AnB là:

$l_2=\frac{300}{180}\pi .2=\frac{10}{3}\pi \approx 10,5\left(cm\right)$

2. Hình quạt tròn

Khái niệm hình quạt tròn

Hình quạt tròn là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

Diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung $n^o$: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l=4\pi$cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{4\pi .5}{2}=10\pi \left(c{m}^2\right)$

3. Hình vành khuyên

Khái niệm hình vành khuyên

Cho hai đường tròn đồng tâm $\left(O;R\right)$ và $\left(O;r\right)$ với $R>r$. Hình vành khuyên là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (O;r) và (O;R) được tính bởi công thức: $S=\pi \left(R^2-r^2\right)$.

Diện tích hình vành khuyên

Diện tích $S_v$ của hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm và có bán kính R và r: $S_v=\pi \left(R^2-r^2\right)$ (với R > r)

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_v=\pi \left(5^2-3^2\right)=16\pi \left(m^2\right)$

Sơ đồ tư duy Hình quạt tròn và hình vành khuyên