Giải SGK Toán 9 Bài 4 (Kết nối tri thức): Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Giải bài tập Toán 9 Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

I. Phương trình tích

HĐ1 trang 27 Toán 9 Tập 1: Phân tích đa thức $P (x) = (x + 1) (2 x - 1) + (x + 1) x$ thành nhân tử

Lời giải:

$P (x) = (x + 1) (2 x - 1) + (x + 1) x = (x + 1) (2 x - 1 + x) = (x + 1) (3 x - 1)$

HĐ2 trang 27 Toán 9 Tập 1: Giải phương trình $P (x) = 0.$

Lời giải:

$\begin{array}{l} P (x) = 0 \\ (x + 1) (3 x - 1) = 0 \\ T H 1 : x + 1 = 0 \\ x = - 1 \\ T H 2 : 3 x - 1 = 0 \\ x = \frac{1}{3} \end{array}$

Vậy $x \in {- 1; \frac{1}{3}}$

Luyện tập 1 trang 28 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $(3 x + 1) (2 - 4 x) = 0;$

b) $x^{2} - 3 x = 2 x - 6.$

Lời giải:

a) $(3 x + 1) (2 - 4 x) = 0;$

$\begin{array}{l} T H 1 : 3 x + 1 = 0 \\ x = \frac{- 1}{3} \\ T H 2 : 2 - 4 x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy $x \in {- \frac{1}{3}; \frac{1}{2}}$

b) $x^{2} - 3 x = 2 x - 6.$

$\begin{array}{l} x^{2} - 3 x = 2 x + 6 \\ x (x - 3) = 2 (x + 3) \\ x (x - 3) - 2 (x + 3) = 0 \\ (x - 2) - (x - 3) = 0 \\ T H 1 : x - 2 = 0 \\ x = 2 \\ T H 2 : x - 3 = 0 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy $x \in {2; 3}$

Vận dụng trang 28 Toán 9 Tập 1: Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Tình huống mở đầu: Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15m người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là x (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là $169 m^{2}$ thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Do lối đi có bề rộng là x nên cạnh của khu vườn hình vuông ban đầu giảm đi $2 x (m) .$

Nên phần đất còn lại là hình vuông có cạnh $15 - 2 x (m)$

Diện tích phần đất còn lại là $169 m^{2}$ nên ta có phương trình ${(15 - 2 x)}^{2} = 169$

$\begin{array}{l} {(15 - 2 x)}^{2} = 13^{2} \\ T H 1 : 15 - 2 x = 13 \\ 2 x = 2 \\ x = 1 \end{array}$

$T H 2 : 15 - 2 x = - 13$ (vô lý vì cạnh của mảnh đất >0)

Vậy $x = 1$

Vậy bề rộng của lối đi là 1m.

Mục 2 trang 28, 29

II. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

HĐ3 trang 28 Toán 9 Tập 1: Xét phương trình $x + \frac{1}{x + 1} = - 1 + \frac{1}{x + 1} .$

Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.

Lời giải:

Ta có $x + \frac{1}{x + 1} = - 1 + \frac{1}{x + 1}$ hay $x + \frac{1}{x + 1} + 1 - \frac{1}{x + 1} = 0$ suy ra $x + 1 = 0$

HĐ4 trang 28 Toán 9 Tập 1: Xét phương trình $x + \frac{1}{x + 1} = - 1 + \frac{1}{x + 1} .$

Giá trị $x = - 1$ có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Lời giải:

Thay $x = - 1$ vào phương trình đã cho ta có $(- 1) + \frac{1}{- 1 + 1} = - 1 + \frac{1}{- 1 + 1}$ , ta có kết quả đã cho chưa đúng vì khi thay $x = - 1$ làm cho mẫu của phân số bằng 0.

Vậy $x = - 1$ không là nghiệm của phương trình.

Luyện tập 2 trang 28 Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{3 x + 1}{2 x - 1} = 1;$

b) $\frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} = 2.$

Lời giải:

a) $\frac{3 x + 1}{2 x - 1} = 1;$

Vì $2 x - 1 \neq 0$ khi $x \neq \frac{1}{2} .$ Vậy ĐKXĐ của phương trình đã cho là $x \neq \frac{1}{2} .$

b) $\frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} = 2.$

Vì $x - 1 \neq 0$ khi $x \neq 1$ và $x \neq 0$ . Vậy ĐKXĐ của phương trình đã cho là $x \neq 1$ và $x \neq 0$ .

HĐ5 trang 28 Toán 9 Tập 1: Xét phương trình $\frac{x + 3}{x} = \frac{x + 9}{x - 3} . (2)$

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2):

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2);

b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu;

c) Giải phương trình vừa tìm được;

d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).

Lời giải:

a) ĐKXĐ $x \neq 0$ và $x \neq 3.$

b) Quy đồng mẫu ta được $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{(x + 9) x}{x (x - 3)}$ và khử mẫu ta có: $(x - 3) (x + 3) = x (x + 9)$

c) $x^{2} - 9 = x^{2} + 9 x$

$\begin{array}{l} x^{2} - x^{2} - 9 x = 9 \\ - 9 x = 9 \\ x = - 1 \end{array}$

Giá trị $x = - 1 (t / m)$ . Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 1.$

Luyện tập 3 trang 29 Toán 9 Tập 1: Giải phương trình $\frac{1}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{3} - 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1} .$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x \neq 1.$

Quy đồng mẫu thức, ta được

$\frac{1. (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{4 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{x (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)}$

Khử mẫu ta được $x^{2} + x + 1 - 4 x = x (x - 1)$

$\begin{array}{l} x^{2} + x + 1 - 4 x = x^{2} - x \\ x^{2} - 3 x - x^{2} + x = - 1 \\ - 2 x = - 1 \end{array}$

$x = \frac{1}{2} (t / m) .$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{2} .$

Bài tập (trang 30)

Bài 2.1 trang 30 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $x (x - 2) = 0;$

b) $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0.$

Lời giải:

a) $x (x - 2) = 0;$

$\begin{array}{l} T H 1 : x = 0 \\ T H 2 : x - 2 = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Vậy $x \in {0; 2} .$

b) $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0.$

$\begin{array}{l} T H 1 : 2 x + 1 = 0 \\ x = \frac{- 1}{2} \\ T H 2 : 3 x - 2 = 0 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

Vậy $x \in {\frac{- 1}{2}; \frac{2}{3}} .$

Bài 2.2 trang 30 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $(x^{2} - 4) + x (x - 2) = 0;$

b) ${(2 x + 1)}^{2} - 9 x^{2} = 0.$

Lời giải:

a) $(x^{2} - 4) + x (x - 2) = 0;$

$\begin{array}{l} (x^{2} - 4) + x (x - 2) = 0 \\ (x - 2) (x + 2) + x (x - 2) = 0 \\ (x - 2) (x + 2 + x) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} (x - 2) (2 x + 2) = 0 \\ T H 1 : x - 2 = 0 \\ x = 2 \\ T H 2 : 2 x + 2 = 0 \\ 2 x = - 2 \\ x = - 1 \end{array}$

Vậy $x \in {- 1; 2} .$

b) ${(2 x + 1)}^{2} - 9 x^{2} = 0.$

$\begin{array}{l} {(2 x + 1)}^{2} - {(3 x)}^{2} = 0 \\ (2 x + 1 - 2 x) (2 x + 1 + 3 x) = 0 \\ 1. (5 x + 1) = 0 \\ 5 x = - 1 \\ x = \frac{- 1}{5} \end{array}$

Vậy $x = \frac{- 1}{5} .$

Bài 2.3 trang 30 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{(2 x + 1) (x + 1)};$

b) $\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{3 x}{x^{3} + 1} .$

Lời giải:

a) $\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{(2 x + 1) (x + 1)};$

ĐKXĐ: $x \neq - 1; x \neq \frac{- 1}{2} .$

Quy đồng mẫu thức ta được:

$\frac{2 (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} + \frac{1. (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{3}{(2 x + 1) (x + 1)};$

Khử mẫu ta được:

$\begin{array}{l} 2 (x + 1) + 1. (2 x + 1) = 3 \\ 4 x + 3 = 3 \\ x = 0 (t / m) . \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 0.$

b) $\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{3 x}{x^{3} + 1} .$

ĐKXĐ: $x \neq - 1; x \neq \frac{- 1}{2} .$

Quy đồng mẫu thức ta được: $\frac{1. (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x^{2} - x + 1) (x + 1)} = \frac{3 x}{(x^{2} - x + 1) (x + 1)} .$

Khử mẫu ta được:

$\begin{array}{l} 1. (x^{2} - x + 1) - x (x + 1) = 3 x \\ - 2 x + 1 = 3 x \\ 5 x = 1 \\ x = \frac{1}{5} (t / m) . \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \frac{1}{5} .$

Bài 2.4 trang 30 Toán 9 Tập 1: Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14m và chiều rộng 12m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như hình 2.3. Biết diện tích đất làm nhà là $100 m^{2} .$ Hỏi x bằng bao nhiêu mét?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Chiều dài của phần đất làm nhà là: 14 – (x + 2) = 12 – x (m). Điều kiện x < 12.

Chiều rộng của phần đất làm nhà là: 12 – x (m).

Diện tích đất làm nhà là: (12 – x)2 (m2).

Theo bài, diện tích đất làm nhà là 100 m2 nên ta có phương trình:

(12 – x)2 = 100. (*)

Giải phương trình (*):

(12 – x)2 = 100

(12 – x)2 – 102 = 0

(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0

(2 – x)(22 – x) = 0

Suy ra 2 – x = 0 hoặc 22 – x = 0

Do đó x = 2 hoặc x = 22.

Ta thấy x = 2 thỏa mãn điều kiện x < 12.

Vậy x = 2.

Bài 2.5 trang 30 Toán 9 Tập 1: Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, $x > 0$ ).

a) Hãy biểu thị theo x:

– Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;

– Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ;

b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Lời giải:

– Một giờ người thứ nhất làm được số công việc là $\frac{1}{x}$ (công việc)

– Hai người làm công việc 8 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được số công việc là $\frac{1}{8}$ (công việc)

Nên một giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{8} - \frac{1}{x}$ (công việc)

b) Hai người cùng làm trong 4 giờ thì làm được $4. \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ (công việc)

Người thứ hai làm tiếp tục một mình trong 12h làm được $12. (\frac{1}{8} - \frac{1}{x}) = \frac{3}{2} - \frac{12}{x}$ (công việc) thì xong công việc nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2} + (\frac{3}{2} - \frac{12}{x}) = 1$ hay $\frac{3}{2} - \frac{12}{x} = \frac{1}{2}$ suy ra $\frac{12}{x} = 1$ nên $x = 12 (t / m)$

Với $x = 12$ thì một giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$ (công việc)

Do đó thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai nếu làm một mình là $1 : \frac{1}{24} = 24$ (giờ)

Vậy nếu làm riêng người thứ nhất hoàn thành công việc trong 12 h.

Người thứ hai hoàn thành công việc trong 24 h.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

Luyện tập chung trang 36

Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Cách giải phương trình tích

Để giải phương trình tích $(a x + b) (c x + d) = 0$ , ta giải hai phương trình $a x + b = 0$ và $c x + d = 0$ . Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ: Giải phương trình $(2 x + 1) (3 x - 1) = 0$

Lời giải:

Ta có: $(2 x + 1) (3 x - 1) = 0$

nên $2 x + 1 = 0$ hoặc $3 x - 1 = 0$ .

$2 x + 1 = 0$ hay $2 x = - 1$ , suy ra $x = - \frac{1}{2}$ .

$3 x - 1 = 0$ hay $3 x = 1$ , suy ra $x = \frac{1}{3}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{3}$ .

Các bước giải phương trình:

Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích $(a x + b) (c x + d) = 0$ .

Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Ví dụ: Giải phương trình $x^{2} - x = - 2 x + 2$ .

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

$\begin{array}{l} x^{2} - x = - 2 x + 2 \\ x^{2} - x + 2 x - 2 = 0 \\ x (x - 1) + 2 (x - 1) = 0 \\ (x + 2) (x - 1) = 0. \end{array}$

Ta giải hai phương trình sau:

$x + 2 = 0$ suy ra $x = - 2$ .

$x - 1 = 0$ suy ra $x = 1$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 2$ và $x = 1$ .

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ:

– Phương trình $\frac{5 x + 2}{x - 1} = 0$ có điều kiện xác định là $x \neq 1$ vì $x - 1 \neq 0$ khi $x \neq 1$ .

– Phương trình $\frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x - 2}$ có điều kiện xác định là $x \neq - 1$ và $x \neq 2$ vì $x + 1 \neq 0$ khi $x \neq - 1$ , $x - 2 \neq 0$ khi $x \neq 2$ .

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 2} = \frac{3}{(x + 1) (x - 2)}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x \neq - 1$ và $x \neq 2$ .

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được $\frac{2 (x - 2) + (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{3}{(x + 1) (x - 2)}$ , suy ra $2 (x - 2) + (x + 1) = 3$ .

Giải phương trình $2 (x - 2) + (x + 1) = 3$ :

$\begin{array}{l} 2 (x - 2) + (x + 1) = 3 \\ 2 x - 4 + x + 1 = 3 \\ 3 x - 3 = 3 \\ 3 x = 6 \\ x = 2 \end{array}$

Giá trị $x = 2$ không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình $\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 2} = \frac{3}{(x + 1) (x - 2)}$ vô nghiệm.

Bài liên quan