20 Bài tập Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

A. Bài tập Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài 1. Cho căn thức $\sqrt{x^2-2x+1}.$

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x;

b) Rút gọn căn thức đã cho với x ≥ 1;

c) Chứng tỏ rằng với mọi x ≥ 1, biểu thức $\sqrt{x-\sqrt{x^2-2x+1}}$ có giá trị không đổi.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{x^2-2x+1}$ là x² – 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x² – 1) ≥ 0 ∀ x

Suy ra căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Với x ≥ 1, ta có:

$\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}=\left|x-1\right|=x-1.$

c) Với x ≥ 1, ta có:

$\sqrt{x-\sqrt{x^2-2x+1}}=\sqrt{x-\left(x-1\right)}=\sqrt{x-x+1}=\sqrt{1}=1.$

Bài 2. Chứng minh rằng:

a) ${\left(2-\sqrt{5}\right)}^2=9-4\sqrt{5};$

b) ${\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2=11+2\sqrt{30}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: VT = ${\left(2-\sqrt{5}\right)}^2=2^2-\mathrm{2.2.}\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2$

$=4-4\sqrt{5}+5=9-4\sqrt{5}=VP$ (ĐPCM).

b) Ta có: $VT={\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+2.\sqrt{5}.\sqrt{6}+{\left(\sqrt{6}\right)}^2$

$=5+2.\sqrt{30}+6=11+2\sqrt{30}=VP$ (ĐPCM).

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(4-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2};$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+5-2\sqrt{2};$

c) ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10};$

d) $\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0; x ≠ 4.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{\left(4-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\left|4-\sqrt{3}\right|+\left|1+\sqrt{3}\right|$

$=4-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}=5$.

b) Ta có: $\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+5-2\sqrt{2}$

$=\left|3-\sqrt{2}\right|+5-2\sqrt{2}$

$=3-\sqrt{2}+5-2\sqrt{2}$

$=8-3\sqrt{2}.$

c) Ta có: ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10}$

$={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2.\sqrt{2}.\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10}$

$=4+2\sqrt{10}+5-2\sqrt{10}=9.$

d) Ta có: $\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ (x ≥ 0; x ≠ 4)

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-1.\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-2}$$=\sqrt{x}-1.$

Bài 4. Điện áp V (tính theo volt) yêu cầu cho một mạch điện được cho bởi công thức $V=\sqrt{PR},$ trong đó P là công suất (tính theo watt) và R là điện trở trong (tính theo ohm).

a) Cần bao nhiêu volt để thắp sáng một bóng đèn A có công suất 100 watt và điện trở của mỗi bóng đèn là 110 ohm?;

b) Bóng đèn B có điện áp bằng 110 volt, điện trở trong là 88 ohm có công suất lớn hơn bóng đèn A không? Giải thích.

Hướng dẫn giải

a) Thay P = 100, R = 110 vào công thức $V=\sqrt{PR},$ ta được:

$V=\sqrt{100.110}\approx 104,88$ (volt)

Vậy số volt để thắp sáng một bóng đèn A là 104,88 (volt).

b) Thay V = 110, R = 88 vào công thức $V=\sqrt{PR},$ ta được:

$\sqrt{P.88}=110$ ⇒ P.88 = (110)² ⇒ $P=\frac{{\left(110\right)}^2}{88}\approx 137,50$ (watt) > 100 (watt)

Vậy bóng đèn B có công suất lớn hơn bóng đèn A.

B. Lý thuyết Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

1. Khai căn bậc hai và phép nhân

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân

Ví dụ:

$\sqrt{27}.\sqrt{3}=\sqrt{27.3}=\sqrt{81}=9$

$\sqrt{5}\left(\sqrt{125}+\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}.\sqrt{125}+\sqrt{5}.\sqrt{5}=\sqrt{5.125}+\sqrt{5.5}=25+5=30$

Chú ý:

– Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{A}.\sqrt{B}.\sqrt{C}=\sqrt{A.B.C}$ (với $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$).

Ví dụ: $\sqrt{3}.\sqrt{5}.\sqrt{15}=\sqrt{\mathrm{3.5.15}}=\sqrt{225}=15$

– Nếu $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$ thì $\sqrt{A^2{B}^2{C}^2}=ABC$.

Ví dụ: Với $a\ge 0,b<0$ thì$\sqrt{25a^2{b}^2}=\sqrt{5^2.a^2.{\left(-b\right)}^2}=\sqrt{5^2}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{\left(-b\right)}^2}=5.a.\left(-b\right)=-5ab$

2. Khai căn bậc hai và phép chia

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia

Ví dụ: $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$;

Với $a>0$ thì $\frac{\sqrt{52a^3}}{\sqrt{13a}}=\sqrt{\frac{52a^3}{13a}}=\sqrt{4a^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=2a$.

Sơ đồ tư duy Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia