Giải SGK Toán 9 (Kết nối tri thức): Luyện tập chung trang 80

Giải bài tập Toán 9 Luyện tập chung trang 80

Bài tập

Bài 4.14 trang 80 Toán 9 Tập 1: Một cuốn sách khổ 17 × 24 cm, tức là chiều rộng 17 cm, chiều dài 24 cm. Gọi α là góc giữa đường chéo và cạnh 17 cm. Tính sinα, cosα (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và tính số đo α (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Ta mô tả cuốn sách khổ 17 × 24 cm như hình vẽ sau:

Xét ∆ACD vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AD² + DC² = 17² + 24² = 865. Suy ra $AC=\sqrt{865}\text{ cm}$ (vì AC > 0).

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin và cos, ta có:

$\sin \alpha =\sin \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}=\frac{24}{\sqrt{865}}\approx \mathrm{0,82};$

$\cos \alpha =\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}=\frac{17}{\sqrt{865}}\approx \mathrm{0,58.}$

Suy ra α ≈ 55°.

Bài 4.15 trang 80 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có chân đường cao AH nằm giữa B và C. Biết HB = 3 cm, HC = 6 cm, $\widehat{HAC}=60°.$ Hãy tính độ dài các cạnh (làm tròn đến cm), số đo các góc của tam giác ABC (làm tròn đến độ).

Lời giải:

– Ta có: BC = BH + HC = 3 + 6 = 9 cm.

Xét ∆AHC vuông tại H, ta có:

⦁ $\sin \widehat{HAC}=\frac{CH}{AC}$

Suy ra $AC=\frac{CH}{\sin \widehat{HAC}}=\frac{6}{\sin 60°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\text{ (cm).}$

⦁ $AH=AC\cdot \cos \widehat{HAC}=4\sqrt{3}\cdot \cos 60°=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}.$

Xét ∆AHB vuông tại H, theo định lý Pythagore ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+3^2=21$

Suy ra $AB=\sqrt{21}=\mathrm{4,582575695\dots }\text{ cm}\approx 5\text{ cm.}$

– Ta có: $\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90°$(tổng hai góc nhọn của ∆AHC vuông tại H).

Suy ra $\widehat{HCA}=90°-\widehat{HAC}=90°-60°=30°.$ Hay $\widehat{BCA}=30°.$

Xét ∆AHB vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat{HBA}=\frac{AH}{HB}=\frac{2\sqrt{3}}{3},$ suy ra $\widehat{HBA}\approx 49°.$

Xét ∆ABC, ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=180°$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\widehat{CAB}-\widehat{CBA}\approx 180°-30°-49°=101°.$

Bài 4.16 trang 80 Toán 9 Tập 1: Tìm chiều rộng d của dòng sông trong Hình 4.27 (làm tròn đến m).

Lời giải:

Ta có: $\tan 40°=\frac{d}{50}$ suy ra d = 50.tan40° ≈ 42 (m).

Vậy chiều rộng của dòng sông là khoảng 42 m.

Bài 4.17 trang 80 Toán 9 Tập 1: Tính các số liệu còn thiếu (dấu “?”) ở Hình 4.28 với góc làm tròn đến độ, với độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

Lời giải:

a) Gọi độ dài cạnh cần tìm là x.

Ta có: $\tan 40°=\frac{x}{3}$ suy ra x = 3.tan40° ≈ 2,5.

b) Gọi số đo góc cần tìm là α.

Vì tứ giác đã cho có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật. Do đó hai cạnh đối nhau có độ dài bằng nhau.

Ta có: $\sin \alpha =\frac{7}{10}=\mathrm{0,7}$ suy ra α ≈ 44°.

c) Gọi số đo góc cần tìm là β.

Ta có: $\tan \alpha =\frac{7}{5}$ suy ra β ≈ 54°.

d) Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ và cạnh góc vuông lớn lần lượt là a, b.

Ta có:

⦁ $\sin 35°=\frac{a}{3},$ suy ra a = 3.sin35° ≈ 1,7.

⦁ $\sin 35°=\frac{b}{5},$ suy ra b = 5.sin35° ≈ 2,9.

Bài 4.18 trang 80 Toán 9 Tập 1: Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm C đến A và đến B là CA = 90 m, CB = 150 m và $\widehat{ACB}=120°$ (H.4.29). Hãy tính AB giúp bạn.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{BCA}+\widehat{ACH}=180°$(hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{ACH}=180°-\widehat{ACB}=180°-120°=60°.$

Xét ∆AHC vuông tại H, ta có:

⦁ $AH=AC\cdot \sin \widehat{ACH}=90\cdot \sin 60°=90\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=45\sqrt{3}\text{ (m).}$

⦁c$CH=AC\cdot \cos \widehat{ACH}=90\cdot \cos 60°=90\cdot \frac{1}{2}=45\text{ (m).}$

Ta có: BH = BC + CH = 150 + 45 = 195 (m).

Xét ∆AHB vuông tại H, theo định lý Pythagore ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2={\left(45\sqrt{3}\right)}^2+{195}^2=44100$

Suy ra $AB=\sqrt{44100}=210\text{ (m).}$

Bài 4.19 trang 80 Toán 9 Tập 1: Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang ABCD (H.4.30). Chiều rộng của mặt trên AB của đập là 3 m. Độ dốc của sườn AD, tức là tanD = 1,25. Độ dốc của sườn BC, tức là tanC = 1,5. Chiều cao của đập là 3,5 m. Hãy tính chiều rộng CD của chân đập, chiều dài của các sườn AD và BC (làm tròn đến dm).

Lời giải:

Kẻ AE ⊥ CD, BF ⊥ CD. Khi đó AE // BF.

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó suy ra AB // EF.

Xét tứ giác ABFE có: AE // BF và AB // EF nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat{E}=90°,$ nên hình bình hành ABFE là hình chữ nhật.

Suy ra EF = AB = 3 m.

Xét ∆ADE vuông tại E, ta có:

$\tan D=\frac{AE}{DE},$ suy ra $DE=\frac{AE}{\tan D}=\frac{\mathrm{3,5}}{\mathrm{1,25}}=\mathrm{2,8}\text{ (m).}$

Vì ABFE là hình chữ nhật nên BF = AE = 3,5 m.

Xét ∆BCF vuông tại F, ta có:

$\tan C=\frac{BF}{FC},$ suy ra $FC=\frac{BF}{\tan C}=\frac{\mathrm{3,5}}{\mathrm{1,5}}=\frac{7}{3}\text{ (m).}$

Ta có: $DC=DE+EF+FC=\mathrm{2,8}+3+\frac{7}{3}=\frac{122}{15}=\text{8,1}\left(3\right)\text{ (m)}\approx 81\text{ (dm).}$

Xét ∆ADE vuông tại E, theo định lí Pythagore, ta có:

AD² = AE² + DE² = 3,5² + 2,8² = 20,09.

Suy ra $AD=\sqrt{\mathrm{20,09}}\approx \mathrm{4,482186966\dots }\text{ (m)}\approx \text{45 (dm).}$

Xét ∆BCF vuông tại F, theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C}^2=B{F}^2+C{F}^2={\mathrm{3,5}}^2+{\left(\frac{7}{3}\right)}^2=\frac{637}{36}.$

Suy ra $BC=\sqrt{\frac{637}{36}}=\mathrm{4,206476388\dots }\text{ (m)}\approx 42\text{ (dm).}$

Bài 4.20 trang 80 Toán 9 Tập 1: Trong một buổi tập trận, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 21° để lặn xuống (H.4.31).

a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 200 m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển? (làm tròn đến m).

b) Giả sử tốc độ của tàu là 9 km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200 m (tức là cách mặt nước biển 200 m)?

Lời giải:

a) Tàu chuyển động theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 21° và đi được 200 m tức là AH = 200 m. Độ sâu của tàu so với mặt nước biển là BH.

Xét ∆ABH vuông tại B, ta có:

$BH=AH\cdot \sin \widehat{BAH}=200\cdot \sin 21°\approx 72\text{ (m).}$

b) Tàu ở độ sâu 200 m tức là BH = 200 m. Quãng đường tàu đi đến độ sâu 200 m là AH.

Xét ∆ABH vuông tại B, ta có:

$\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AH},$ suy ra $AH=\frac{BH}{\sin 21°}=\frac{200}{\sin 21°}\approx 558\text{ (m)}=\mathrm{0,558}\text{ (km).}$

Thời gian tàu chạy đạt độ sâu 200 m là: $\frac{\mathrm{0,558}}{9}=\mathrm{0,062}$(giờ).

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Luyện tập chung trang 79

Bài tập cuối chương 4

Bài 13. Mở đầu về đường tròn

Bài 14. Cung và dây của một đường tròn

Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên