Bài tập Toán 9 Mở đầu về đường tròn
A. Bài tập Mở đầu về đường tròn
Bài 1. Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, cm. Vẽ đường tròn (A; 4 cm). Trong các điểm O, B, C, D, xác định điểm nằm trong, nằm trên và nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).
Hướng dẫn giải
Hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo nên AC ⊥ BD, AC = BD và O là trung điểm của AC, BD.
Suy ra (cm) và AO ⊥ OB.
Xét ∆AOB vuông O, theo định lí Pythagore ta có:
Do đó AB = 4 (cm).
Khi đó, AD = AB = 4 (cm) (do ABCD là hình vuông) nênhai điểm B, D nằm trên đường tròn (A; 4 cm).
Vì (cm) < 4 (cm) nên điểm O nằm trong đường tròn (A; 4 cm).
Ta có (cm) > 4 (cm) nên điểm C nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có và CD = 2AD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Tính diện tích hình thang ABCD biết AD = 4 cm vàAB = 1,5 cm.
Hướng dẫn giải
a) Hình thang ABCD, có: AB // CD và nên ABCD là hình thang cân.
Do đó BC = AD.
Gọi M là trung điểm CD. Suy ra CD = 2MD và MC = MD (1)
Mà CD = 2AD nên MD = AD.
Xét ∆ADM có MD = AD và nên ∆ADM đều.
Suy ra MA = MD (2)
Chứng minh tương tự, ta được MC = MB (3)
Từ (1), (2), (3), ta thu được MA = MB = MC = MD.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (M; MD).
b) Kẻ AH ⊥ CD tại H.
Do tam giác ADM đều nên
Xét ∆ADH vuông tại H, ta có:
Diện tích hình thang ABCD là:
Vậy diện tích hình thang ABCD bằng cm2.
Bài 3. Cho đường tròn (O; R). Đường thẳng d đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm A, C. Đường thẳng d’ (khác d) đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, D. Chứng minh rằng:
a) A và C đối xứng với nhau qua điểm O; B và D đối xứng với nhau qua điểm O.
b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
a) Xét đường tròn (O; R), ta có: OA = OC = R.
Suy ra O là trung điểm của AC.
Như vậy, A và C đối xứng với nhau qua điểm O.
Chứng minh tương tự, ta được B và D đối xứng với nhau qua O.
b) Ta có: AC = OA + OC = 2R và BD = OB + OD = 2R, nên AC = BD.
Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành.
Lại có AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
Bài 4. Đường tròn có bao nhiêu trục đối xứng?
A. 1;
B. 2;
C. 3;
D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của đường tròn đó.
Vậy đường tròn có vô số trục đối xứng.
Bài 5. Cho hai đường tròn (O; 9 cm), (O’; 8 cm) với OO’ = 17 cm. Kết luận nào sau đây đúng về vị trí tương đối của hai đường tròn?
A. Hai đường tròn ở ngoài nhau;
B. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài;
C. Hai đường tròn tiếp xúc trong;
D. Hai đường tròn cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 9 cm và r = 8 cm.
Vì R + r = 9 + 8 = 17 (cm) nên OO’ = R + r.
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài.
B. Lý thuyết Mở đầu về đường tròn
1. Đường tròn
Định nghĩa đường tròn
|
Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. |
Khi không cần để ý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).
Điểm thuộc đường tròn
Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết . Khi đó, ta còn nói đường tròn (O) đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn (O).
Tổng quát:
– Điểm A nằm trên đường tròn (O; R) nếu OA = R;
– Điểm A nằm trong đường tròn (O; R) nếu OA < R;
– Điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OA > R.
Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O;R).
2. Tính đối xứng của đường tròn
a) Đối xứng tâm
Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua điểm I (hay qua tâm I) nếu I là trung điểm của đoạn MM’.
Ví dụ: Nếu O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD thì
+) OA = OC nên A và C đối xứng với nhau.
+) OB = OD nên B và D đối xứng với nhau.
b) Đối xứng trục
Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d (hay qua trục d) nếu d là đường trung trực của đoạn MM’.
Ví dụ: Nếu AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A thì AH cũng là đường trung trực của BC, nên B và C đối xứng với nhau qua AH.
c) Tâm đối xứng của đường tròn
|
– Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó. – Đường tròn có một tâm đối xứng. |
d) Trục đối xứng của đường tròn
|
– Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó. – Đường tròn có vô số trục đối xứng. |
Sơ đồ tư duy Mở đầu về đường tròn
