20 Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

A. Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 2 và $\sqrt{2}.$ Tính $\widehat{CAD}$. (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình chữ nhật  nên $\widehat{ADC}=90°$.

Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có: $\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Do đó $\widehat{CAD}\approx 55°.$

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật bằng 55°.

Bài 2. Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38°.

Hướng dẫn giải

Đặt BC = x (m).

Theo đề bài, ta có: AC = AB + BC = 500 + x (m)

Xét tam giác ACD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}$ nên$CD=AC.\tan \widehat{CAD}$

Suy ra CD = (500 + x).tan 34° (1)

Xét tam giác BCD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CBD}=\frac{CD}{BC}$ nên$CD=BC.\tan \widehat{CBD}$

Suy ra CD = x.tan 38° (2)

Từ (1) và (2), ta có:(500 + x).tan 34° = x.tan 38°

500.tan 34° + x.tan 34° = x.tan 38°

x.tan 38° − x.tan 34° = 500.tan 34°

x.(tan 38° − tan 34°) = 500.tan 34°

Do đó $x=\frac{500.\tan 34°}{\tan 38°-\tan 34°}\approx 3158,5$ (m).

Chiều cao của ngọn núi là: CD ≈ 3158,5.tan 38° ≈ 2467,7 (m).

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2467,7 m.

Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau mà không sử dụng máy tính bỏ túi:

a) M = sin15° + sin20° – cos70° – cos75°.

b) $N=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\cot 16°\cdot \cot 31°}$.

c) P = 3cos50° – 3sin40° + 2cot45°.

d) $Q=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\sin 30°}-\tan 30°$.

Hướng dẫn giải

a) M = sin15° + sin20° – cos70° – cos75°

= cos(90° – 15°) + cos(90° – 20°) – cos70° – cos75°

= cos75° + cos70° – cos70° – cos75°

= (cos75° – cos75°) + (cos70° – cos70°)

= 0.

b) $N=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\cot 16°\cdot \cot 31°}$

$=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\tan \left(90°-16°\right)\cdot \tan \left(90°-31°\right)}$

$=\frac{\tan 74°.\tan 59°}{\tan 74°.\tan 59°}$

= 1.

c) P = 3cos50° – 3sin40° + 2cot45°

= 3cos50° – 3cos(90° – 40°) + 2cot45°

= 3cos50° – 3cos50° + 2cot45°

= 2cot45°

= 2.1 = 2.

d)$Q=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\sin 30°}-\tan 30°$

$=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\cos \left(90°-30°\right)}-\tan 30°$

$=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\cos 60°}-\tan 30°$

= 4cos60° – tan30°

$=4\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6-\sqrt{3}}{3}.$

Bài 4. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α bằng bao nhiêu(làm tròn đến phút)?

Hướng dẫn giải

Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\cos \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{250}{320}=\frac{25}{32}$.

Suy ra α ≈ 38°37’.

Vậy dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α khoảng 38°37’.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 5 cm, BC = 19 cm;

b) AC = 0,8 cm, AB = 1,2 cm.

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 19² – 5² = 336

Do đó $AC=\sqrt{336}=4\sqrt{21}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{21}}{19};$ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{19}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{21}}{5};$ $\cot B=\frac{1}{\tan B}=\frac{5}{4\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{21}}{84}.$

• $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{19};$ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{21}}{19}.$

• $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{21}}{84};$ $\cot C=\frac{1}{\tan C}=\frac{4\sqrt{21}}{5}.$

b) Theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 0,8² + 1,2² = 2,08.

Suy ra $BC=\sqrt{2,08}=\frac{2\sqrt{13}}{5}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{3\sqrt{13}}{13};$ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{0,8}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{1,2}{0,8}=\frac{3}{2};$ $\cot B=\frac{1}{\tan B}=\frac{2}{3}.$

• $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{0,8}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{2\sqrt{13}}{13};$ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}.$

• $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{0,8}{1,2}=\frac{2}{3};$ $\cot C=\frac{1}{\tan C}=\frac{3}{2}.$

B. Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Tip học thuộc nhanh:

Chú ý: Với góc nhọn $\alpha$, ta có:

$0<\sin \alpha <1$; $0<\cos \alpha <1$.

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$.

Ví dụ:

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:

$\sin \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$, $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$, $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$, $\cot \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

Bảng giá trị lượng giác của các góc nhọn đặc biệt

Ví dụ: $P=\frac{\sin {30}^0.\cos {60}^0}{\tan {45}^0}=\frac{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{4}$.

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\sin {60}^0=\cos \left({90}^0-{60}^0\right)=\cos {30}^0;\\ \cos {52}^0{30}^{\prime }=\sin \left({90}^0-{52}^0{30}^{\prime }\right)=\sin {37}^0{30}^{\prime };\\ \tan {80}^0=\cot \left({90}^0-{80}^0\right)=\cot {10}^0;\\ \cot {82}^0=\tan \left({90}^0-{82}^0\right)=\tan 8^0.\end{array}$

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Người ta thường dùng các đơn vị số đo góc là độ (kí hiệu: ${}^0$), phút (kí hiệu: ${}^{\prime }$), giây (kí hiệu: ${}^{″}$).

Ta có thể sử dụng nhiều loại máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của nó.

Lưu ý: ta cần đổi đơn vị đo về độ.

Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn

Để tính tỉ số lượng giác của một góc $\alpha$, ta dùng các nút:

Để tính $\cot \alpha$, ta tính $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$ hoặc $\tan \left({90}^0-\alpha \right)$.

Bảng tóm tắt cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Xác định số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó

Bảng tóm tắt cách tính số đo của một góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác

Để tìm $\alpha$ khi biết $\cot \alpha$, ta tính $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }$ và dùng $\tan \alpha$ để tính $\alpha$.

Một số công thức mở rộng:

+) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

+) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

+) $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

+) $\tan \alpha .\cot \alpha =1$

+) $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$

+) $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }={\cot }^2\alpha +1$

Sơ đồ tư duy Tỉ số lượng giác của góc nhọn