Giải SGK Toán 9 Bài 5 (Kết nối tri thức): Bất đẳng thức và tính chất

Giải bài tập Toán 9 Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

1. Bất đẳng thức

Câu hỏi trang 31 Toán 9 Tập 1: Thay ? trong các biểu thức sau bằng dấu thích hợp (=,>,<).

a) -34,2 ? -27;

b) $\frac{6}{- 8}$ ? $- \frac{3}{4};$

c) 2 024 ? 1 954.

Lời giải:

a) -34,2 < -27;

b) $\frac{6}{- 8}$ = $- \frac{3}{4};$

c) 2 024 > 1 954.

Luyện tập 1 trang 32 Toán 9 Tập 1: Biển báo giao thông R.306 (H.2.5) báo tốc độ tối thiểu cho các loại xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với tốc độ a (km/h) thì a phải thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau?

Tài liệu VietJack

A. $a < 60.$

B. $a > 60.$

C. $a \geq 60.$

D. $a \leq 60.$

Lời giải:

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Luyện tập 2 trang 32 Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $\frac{2024}{1000} > 1, 9;$

b) $- \frac{2022}{2023} > - 1, 1.$

Lời giải:

a) $\frac{2024}{1000} > 1, 9;$

Ta có $\frac{2024}{1000} > \frac{2000}{1000}$ hay $\frac{2024}{1000} > 2 > 1, 9$ nên $\frac{2024}{1000} > 1, 9$

b) $\frac{- 2022}{2023} > - 1, 1.$

Ta có $\frac{- 2022}{2023} > \frac{- 2023}{2023}$ hay $\frac{- 2022}{2023} > - 1 > - 1, 1$ nên $\frac{- 2022}{2023} > - 1, 1.$

Vận dụng 1 trang 33 Toán 9 Tập 1: Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu:

a) Ô tô ở làn giữa;

b) Xe máy ở làn bên phải.

Tình huống mở đầu

Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe cơ giới được phép đi.

Em có biết ý nghĩa của biển báo giao thông ở Hình 2.4 (biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép theo xe, trên từng làn đường) không?

Tài liệu VietJack

Lời giải:

a) Gọi vận tốc ô tô là a km/h, bất đẳng thức mô tả tốc độ cho phép của ô tô ở làn giữa là $a \leq 50.$

b) Gọi vận tốc xe máy là b km/h, bất đẳng thức mô tả tốc độ cho phép của xe máy ở làn bên phải là $b \leq 50.$

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khám phá trang 33 Toán 9 Tập 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Xét bất đẳng thức $- 1 < 2.$

a) Cộng 2 vào hai vế của bất đẳng thức (1) rồi so sánh kết quả thì ta nhận được bất đẳng thức nào?

b) Cộng -2 vào hai vế của bất đẳng thức (1) rồi so sánh kết quả nhận được thì ta được bất đẳng thức nào?

c) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức (1) với cùng một số c thì ta sẽ được bất đẳng thức nào?

Lời giải:

a) Ta có $- 1 + 2 = 1; 2 + 2 = 4$ và $1 < 4$ .

Từ đó ta có bất đẳng thức: Nếu $- 1 < 2$ thì $- 1 + 2 < 2 + 2$

b) Ta có $- 1 + (- 2) = - 3; 2 + (- 2) = 0$ và $- 3 < 0$ .

Từ đó ta có bất đẳng thức: Nếu $- 1 < 2$ thì $- 1 + (- 2) < 2 + (- 2)$

c) Ta có bất đẳng thức: Nếu $- 1 < 2$ thì $- 1 + c < 2 + c$

Luyện tập 3 trang 34 Toán 9 Tập 1: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) $19 + 2023$ và $- 31 + 2023;$

b) $\sqrt{2} + 2$ và $4.$

Lời giải:

a) $19 + 2023$ và $- 31 + 2023;$

Vì $19 > - 31$ nên $19 + 2023 > - 31 + 2023$ (cộng vào hai vế với cùng một số 2023)

b) $\sqrt{2} + 2$ và $4.$

Vì $\sqrt{2} < 2$ nên $\sqrt{2} + 2 < 2 + 2$ hay $\sqrt{2} + 2 < 4$ (biến đổi 4 thành tổng của 2 + 2)

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Khám phá trang 34 Toán 9 Tập 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Cho bất đẳng thức $- 2 < 5.$

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với 7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với -7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?

Lời giải:

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với 7 ta được:

$- 2.7 = - 14; 5.7 = 35$ và $- 14 < 35$ nên ta có bất đẳng thức:

Nếu $- 2 < 5$ thì $- 2.7 < 5.7$

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với -7 ta được:

$- 2. (- 7) = 14; 5. (- 7) = - 35$ và $14 > - 35$ nên ta có bất đẳng thức:

Nếu $- 2 < 5$ thì $- 2. (- 7) > 5. (- 7)$

Luyện tập 4 trang 35 Toán 9 Tập 1: Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng định đúng.

a) $13. (- 10, 5)$ ? $13.11, 2;$

b) $(- 13) . (- 10, 5)$ ? $(- 13) .11, 2.$

Lời giải:

a) $13. (- 10, 5)$ ? $13.11, 2;$

Vì $- 10, 5 < 11, 2$ nên $13. (- 10, 5) < 13.11, 2.$

b) $(- 13) . (- 10, 5)$ ? $(- 13) .11, 2.$

Vì $- 10, 5 < 11, 2$ nên $(- 13) . (- 10, 5) > (- 13) .11, 2$

Vận dụng 2 trang 35 Toán 9 Tập 1: Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền nhà tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là 60 000 đồng và mỗi suất ăn sáng là 30 000 đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Lời giải:

Chi phí ăn uống của mỗi người là $60 + 60 + 30 = 150$ (nghìn đồng).

Gọi x là số bạn nhiều nhất có thể tham gia được buổi đi dã ngoại.

Chi phí ăn uống cho x bạn là $150 x$ (nghìn đồng).

Tổng chi phí phải trả cho buổi dã ngoại có x bạn tham gia là $150 x + 17000$ (nghìn đồng)

Mà tổng số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng nên ta có $150 x + 17000 \leq 30000$ (nghìn đồng)

Ta có $150 x \leq 13000$ (cộng cả hai vế với -17000)

Hay $x \leq \frac{260}{3}$ (nhân cả hai vế với $\frac{1}{150}$ )

Mà $\frac{260}{3} \approx 86, (6)$ nên số người tham gia tối đa là 86 bạn.

Vậy có thể tổ chức nhiều nhất tối đa 86 bạn tham gia được.

Bài tập (trang 35)

Bài 2.6 trang 30 Toán 9 Tập 1: Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng trong mỗi trường hợp sau:

a) x nhỏ hơn hoặc bằng -2;

b) m là số âm;

c) y là số dương;

d) p lớn hơn hoặc bằng 2 024.

Lời giải:

a) x nhỏ hơn hoặc bằng -2 tức là $x \leq - 2$

b) m là số âm tức là $m < 0$

c) y là số dương tức là $y > 0$

d) p lớn hơn hoặc bằng 2024 tức là $p \geq 2024$

Bài 2.7 trang 30 Toán 9 Tập 1: Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô;

b) Xe buýt chở được tối đa 45 người;

c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng.

Lời giải:

a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô

Gọi số tuổi của bạn để được phép lái ô tô là x thì ta có bất đẳng thức $x \geq 18$

b) Xe buýt chở được tối đa 45 người

Gọi số người trên xe buýt là x thì ta có bất đẳng thức $x \leq 45$

c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng.

Gọi mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là x (đồng) thì ta có bất đẳng thức $x \geq 20000$

Bài 2.8 trang 30 Toán 9 Tập 1: Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:

a) $2. (- 7) + 2023 < 2. (- 1) + 2023;$

b) $(- 3) . (- 8) + 1975 > (- 3) . (- 7) + 1975.$

Lời giải:

a) $2. (- 7) + 2023 < 2. (- 1) + 2023;$

Ta có $- 7 < - 1$ nên $2. (- 7) < 2. (- 1)$ (Nhân cả hai vế với số dương 2)

Suy ra $2. (- 7) + 2023 < 2. (- 1) + 2023$ (cộng cả hai vế với 2023).

b) $(- 3) . (- 8) + 1975 > (- 3) . (- 7) + 1975.$

Ta có $- 8 < - 7$ nên $(- 3) . (- 8) > (- 3) . (- 7)$ (Nhân cả hai vế với số -3)

Suy ra $(- 3) . (- 8) + 1975 > (- 3) . (- 7) + 1975.$ (cộng cả hai vế với 1975).

Bài 2.9 trang 30 Toán 9 Tập 1: Cho $a < b,$ hãy so sánh:

a) $5 a + 7$ và $5 b + 7;$

b) $- 3 a - 9$ và $- 3 b - 9.$

Lời giải:

a) $5 a + 7$ và $5 b + 7;$

Ta có $a < b$ nên $5 a < 5 b$ (Nhân cả hai vế với số dương 5)

Suy ra $5 a + 7 < 5 b + 7$ (cộng cả hai vế với 7).

b) $- 3 a - 9$ và $- 3 b - 9.$

Ta có $a < b$ nên $- 3 a > - 3 b$ (Nhân cả hai vế với số dương -3)

Suy ra $- 3 a - 9 > - 3 b - 9$ (cộng cả hai vế với -9).

Bài 2.10 trang 30 Toán 9 Tập 1: So sánh hai số a và b, nếu:

a) $a + 1954 < b + 1954;$

b) $- 2 a > - 2 b .$

Lời giải:

a) $a + 1954 < b + 1954;$

Ta có $a + 1954 < b + 1954$ nên $a < b$ (cộng cả hai vế với -1945)

b) $- 2 a > - 2 b .$

Ta có $- 2 a > - 2 b .$ nên $a < b$ (Nhân cả hai vế với $- \frac{1}{2}$ )

Bài 2.11 trang 30 Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $- \frac{2023}{2024} > - \frac{2024}{2023};$

b) $\frac{34}{11} > \frac{26}{9} .$

Lời giải:

a) $- \frac{2023}{2024} > - \frac{2024}{2023};$

Ta có $- \frac{2023}{2024} > - \frac{2024}{2024}$ hay $- \frac{2023}{2024} > - 1$

$- \frac{2024}{2024} > - \frac{2024}{2023}$ hay $- 1 > - \frac{2024}{2023}$

Suy ra $- \frac{2023}{2024} > - \frac{2024}{2023} .$

b) $\frac{34}{11} > \frac{26}{9} .$

Ta có $\frac{34}{11} > \frac{33}{11}$ hay $\frac{34}{11} > 3$

$\frac{27}{9} > \frac{26}{9}$ hay $3 > \frac{26}{9}$

Suy ra $\frac{34}{11} > \frac{26}{9} .$

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

Luyện tập chung trang 36

Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Lý thuyết Bất đẳng thức và tính chất

1. Bất đẳng thức

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực

Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:

a) Số a bằng số b, kí hiệu $a = b$ .

b) Số a lớn hơn số b, kí hiệu $a > b$ .

c) Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu $a < b$ .

Khi biểu kiễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn.

Số a lớn hơn hoặc bằng số b, tức là $a > b$ hoặc $a = b$ , kí hiệu là $a \geq b$ .

Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b, tức là $a < b$ hoặc $a = b$ , kí hiệu là $a \leq b$ .

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$ , $a \geq b$ , $a \leq b$ ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $- 3 < - 2$ (hay $6 > 3$ và $8 > 5$ ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $- 2 > - 3$ (hay $6 > 3$ và $5 < 8$ ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ .

Nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$ .

Nếu $a \leq b$ và $b \leq c$ thì $a \leq c$ .

Nếu $a \geq b$ và $b \geq c$ thì $a \geq c$ .

Ví dụ: Vì $\frac{2024}{2023} = 1 + \frac{1}{2023} > 1$ và $\frac{2021}{2022} = 1 - \frac{1}{2022} < 1$ nên $\frac{2024}{2023} > \frac{2021}{2022}$ .

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ .

Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a + c \leq b + c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a + c \geq b + c$ .

Ví dụ: Vì $2023 < 2024$ nên $2023 + (- 19) < 2024 + (- 19)$

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c > 0, ta có:

Nếu $a < b$ thì $a c < b c$ .

Nếu $a > b$ thì $a c > b c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a c \leq b c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a c \geq b c$ .

– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c < 0, ta có:

Nếu $a < b$ thì $a c > b c$ .

Nếu $a > b$ thì $a c < b c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a c \geq b c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a c \leq b c$ .

Ví dụ:

Vì $- 7 < - 5$ và $3 > 0$ nên $3. (- 7) < 3. (- 5)$ .

Vì $- 7 < - 5$ và $- 3 < 0$ nên $(- 3) . (- 7) > (- 3) . (- 5)$ .

Bài liên quan