20 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

A. Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (2x – 8)(x – 7) = 0;

c) 3x – x² = 0;

d) (x – 4)² – 25x² = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 4x(x + 2) = 0

4x = 0 hoặc x + 2 = 0

x = 0 hoặc x = –2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = –2.

b) Ta có (2x – 8)(x – 7) = 0

2x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0

2x = 8 hoặc x = 7

x = 4 hoặc x = 7.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = 7.

c) Ta có 3x – x² = 0

x(3 – x) = 0

x = 0 hoặc 3 – x = 0

x = 0 hoặc x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 3.

d) Ta có (x – 3)² – 16x² = 0

(x – 3)² – (4x)² = 0

(x – 3 + 4x)(x – 3 – 4x) = 0

(5x – 3)(–3x – 3) = 0

5x – 3 = 0 hoặc –3x – 3 = 0

5x = 3 hoặc 3x = –3

$x=\frac{3}{5}$hoặc x = –1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{3}{5}$và x = –1.

Bài 2. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là

A. x ≠ 2;

B. x ≠-2;

C. x ≠ 2 và x ≠ 1;

D. x ≠ 2 và x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là x – 2 ≠ 0 hay x ≠ 2.

Bài 3. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (x – 7)(2x + 5) = 0;

c) x(3x + 5) – 9x – 15 = 0;

d) x² – 16 + 5x(x – 4) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 5x(4x + 3) = 0

Nên 5x = 0 hoặc 4x + 3 = 0

• 5x = 0, suy ra x = 0.

• 4x + 3 = 0 hay 4x = –3, suy ra $x=-\frac{3}{4}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x=-\frac{3}{4}$

b) Ta có (x – 7)(2x + 5) = 0

Nên x – 7 = 0 hoặc 2x + 5 = 0.

• x – 7 = 0 suy ra x = 7.

• 2x + 5 = 0 hay 2x = –5, suy ra $x=-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 7 và $x=-\frac{5}{2}$.

c) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x(3x + 5) – 9x – 15 = 0

x(3x + 5) – 3(3x + 5) = 0

(3x + 5)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 3x + 5 = 0 hay 3x = -5 suy ra $x=\frac{-5}{3}$.

• x -3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-5}{3}$ và x = 3.

Bài 4. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở về A (cùng cung đường khi đi từ A đến B), người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi nên lúc về mất ít thời gian hơn so với lúc đi là 30 phút. Tính vận tốc của người xe đạp khi đi từ A đến B.

Hướng dẫn giải

Đổi 30 phút $=\frac{1}{2}$ giờ.

Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x > 0).

Thời gian người đó đi từ A đến B là $\frac{24}{x}$ (giờ).

Khi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi nên lúc trở về, vận tốc của người đó là: x + 4 (km/h).

Thời gian người đó từ B trở về A là: $\frac{24}{x+4}$ (giờ).

Theo bài, lúc về mất ít thời gian hơn so với lúc đi là 30 phút nên ta có phương trình: $\frac{24}{x}-\frac{24}{x+4}=\frac{1}{2}.$

Giải phương trình:

$\frac{24}{x}-\frac{24}{x+4}=\frac{1}{2}$

$\frac{24\cdot 2\left(x+4\right)}{2x\left(x+4\right)}-\frac{24\cdot 2x}{2x\left(x+4\right)}=\frac{x\left(x+4\right)}{2x\left(x+4\right)}$

24.2(x + 4) – 24.2x = x(x + 4)

48x + 192 – 48x = x² + 4x

192 = x² + 4x

x²– 12x + 16x – 192 = 0

x(x – 12) + 16(x – 12) = 0

(x – 12)(x + 16) = 0

x – 12 = 0 hoặc x + 16 = 0

x = 12 hoặc x = –16.

Ta thấy chỉ có x = 12 thỏa mãn điều kiện x > 0.

Bài 6. Giải các phương trình sau:

a) x(22x – 12) = 0;

b) (4x – 1)² – 9x² = 0.

Hướng dẫn giải

a) (x + 21)(22x – 12) = 0

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

⦁ x + 21 = 0

           x = –21;

⦁ 22x – 12 = 0

            22x = 12

                 $x=\frac{12}{22}$

                $x=\frac{6}{11}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –21 và $x=\frac{6}{11}.$

b) (4x – 1)² – 9x² = 0

(4x – 1)² – (3x)² = 0

(4x – 1 – 3x)(4x – 1 + 3x) = 0

(x – 1)(7x – 1) = 0.

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

⦁ x – 1 = 0

        x = 1;

⦁ 7x – 1 = 0

         7x = 1

          $x=\frac{1}{7}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và $x=\frac{1}{7}.$

B. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng $\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)=0$.

Cách giải phương trình tích

Ví dụ: Giải phương trình $\left(2x+1\right)\left(3x-1\right)=0$

Lời giải:

Ta có: $\left(2x+1\right)\left(3x-1\right)=0$

$2x+1=0$ hoặc $3x-1=0$.

$2x=-1$ hoặc $3x=1$

$x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{1}{2}$ và $x=\frac{1}{3}$.

Các bước giải phương trình:

Ví dụ: Giải phương trình $x^2-x=-2x+2$.

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

$\begin{array}{l}{x}^2-x=-2x+2\\ x^2-x+2x-2=0\\ x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\\ \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.\end{array}$

$x+2=0$ hoặc $x-1=0$.

$x=-2$ hoặc $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-2$ và $x=1$.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:

– Phương trình $\frac{5x+2}{x-1}=0$ có điều kiện xác định là $x\ne 1$ vì $x-1\ne 0$ khi $x\ne 1$.

– Phương trình $\frac{1}{x+1}=1+\frac{1}{x-2}$ có điều kiện xác định là $x\ne -1$ và $x\ne 2$ vì $x+1\ne 0$ khi $x\ne -1$, $x-2\ne 0$ khi $x\ne 2$.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x\ne -1$ và $x\ne 2$.

Ta có: $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3$

$\begin{array}{l}2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3\\ 2x-4+x+1=3\\ 3x-3=3\\ 3x=6\\ x=2\end{array}$

Giá trị $x=2$ không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ vô nghiệm.

Sơ đồ tư duy Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn