Sách bài tập Toán 7 Bài 14 (Kết nối tri thức): Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Giải Toán 7 trang 60 Tập 1

Bài 4.21 trang 60 Toán 7 Tập 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

*) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆DCB có:

AB = CD (giả thiết)

BC chung

$\hat{A B C} = \hat{D C B}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (c – g – c).

*) Hình b:

Xét ∆EFH và ∆EGH có:

EF = EG (giả thiết)

EH chung

$\hat{F E H} = \hat{G E H}$ (giả thiết)

Do đó, ∆EFH = ∆EGH (c – g – c)

*) Hình c:

Xét ∆MON và ∆POQ có:

MO = PO (giả thiết)

NO = QO (giả thiết)

$\hat{M O N} = \hat{P O Q}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆MON = ∆POQ (c – g – c).

Giải Toán 7 trang 61 Tập 1

Bài 4.22 trang 61 Toán 7 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và DEF bất kỳ, thỏa mãn AB = FE, BC = DF, $\hat{A B C} = \hat{D F E}$ . Những câu nào dưới đây đúng?

a) ∆ABC = ∆DFE.

b) ∆BAC = ∆EFD.

c) ∆CAB = ∆EFD.

d) ∆ABC = ∆EFD.

Hướng dẫn giải

Vì $\hat{A B C} = \hat{D F E}$ nên đỉnh B tương ứng với đỉnh F;

Vì AB = FE mà đỉnh B ứng với đỉnh F thì đỉnh A ứng với đỉnh E.

Suy ra đỉnh C ứng với đỉnh D.

Xét tam giác ABC và tam giác EFD có:

AB = FE;

BC = DF;

$\hat{A B C} = \hat{D F E}$ .

Do đó, ∆ABC = ∆EFD (c – g – c).

Vậy chỉ có đáp án d) đúng.

Bài 4.23 trang 61 Toán 7 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và MNP bất kì, thỏa mãn $\hat{A B C} = \hat{P N M}$ , $\hat{A C B} = \hat{N P M}$ và BC = PN. Những câu nào dưới đây đúng?

a) ∆ABC = ∆PNM.

b) ∆ABC = ∆NPM.

c) ∆ABC = ∆MPN.

d) ∆ABC = ∆MNP.

Hướng dẫn giải

Vì $\hat{A B C} = \hat{P N M}$ nên đỉnh B tương ứng với đỉnh N;

Vì $\hat{A C B} = \hat{N P M}$ nên đỉnh C tương ứng với đỉnh P.

Suy ra đỉnh A tương ứng với đỉnh M.

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\hat{A B C} = \hat{P N M}$

$\hat{A C B} = \hat{N P M}$

BC = PN

Do đó, ∆ABC = ∆MNP (g – c – g).

Trong bốn đáp án chỉ có đáp án d chính xác.

Bài 4.24 trang 61 Toán 7 Tập 1:Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.24, biết rằng AC = BD và $\hat{D B A} = \hat{C A B}$ .

Chứng minh rằng AD = BC.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆BAD có:

AC = BD (giả thiết)

AB chung

$\hat{C A B} = \hat{D B A}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – g – c)

Suy ra, BC = AD (hai cạnh tương ứng).

Bài 4.25 trang 61 Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.25, biết rằng $\hat{B A C} = \hat{B A D}$ và $\hat{B C A} = \hat{B D A}$ .

Chứng minh rằng ∆ABC = ∆ABD.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A B C} + \hat{B A C} + \hat{B C A} = 180 °$

$\hat{A B C} = 180 ° - \hat{B A C} - \hat{B C A}$ (1)

Xét tam giác ABD có:

$\hat{A B D} + \hat{B A D} + \hat{B D A} = 180 °$

$\hat{A B D} = 180 ° - \hat{B A D} - \hat{B D A}$ (2)

Mà $\hat{B A C} = \hat{B A D}$ ; $\hat{B C A} = \hat{B D A}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\hat{A B C} = \hat{A B D}$ .

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

$\hat{A B C} = \hat{A B D}$ (chứng minh trên)

AB chung

$\hat{B A C} = \hat{B A D}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (g – c – g).

Bài 4.26 trang 61 Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, $\hat{B A E} = \hat{D C E}$ . Chứng minh rằng:

a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.

b) ∆ACD = ∆CAB.

c) AD song song với BC.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABE có:

$\hat{B A E} + \hat{A B E} + \hat{A E B} = 180 °$

$\hat{A B E} = 180 ° - \hat{B A E} - \hat{A E B}$ (1)

Xét tam giác CDE có:

$\hat{D C E} + \hat{D E C} + \hat{E D C} = 180 °$

$\hat{E D C} = 180 ° - \hat{D C E} - \hat{D E C}$ (2)

Mà $\hat{B A E} = \hat{D C E}$ (giả thiết); $\hat{A E B} = \hat{D E C}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\hat{A B E} = \hat{E D C}$ .

Xét ∆ABE và ∆CDE có:

$\hat{A B E} = \hat{E D C}$ (chứng minh trên)

AB = CD (giả thiết)

$\hat{B A E} = \hat{D C E}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (g – c – g).

Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)

Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;

Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.

b) Xét ∆ACD và ∆CAB có:

CD = AB (giả thiết)

AC chung

$\hat{B A C} = \hat{D C A}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆CAB (c – g – c).

c) Vì ∆ACD = ∆CAB nên $\hat{D A C} = \hat{B C A}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD song song với BC.

Giải Toán 7 trang 62 Tập 1

Bài 4.27 trang 62 Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\hat{A D E} = \hat{B C E}$ . Chứng minh rằng:

a) $\hat{D A C} = \hat{C B D}$ .

b) ∆AED = ∆BEC.

c) AB song song với DC.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AED có:

$\hat{A D E} + \hat{D A E} + \hat{A E D} = 180 °$

$\hat{D A E} = 180 ° - \hat{A D E} - \hat{A E D}$ (1)

Xét tam giác BEC có:

$\hat{B C E} + \hat{E B C} + \hat{B E C} = 180 °$

$\hat{E B C} = 180 ° - \hat{B C E} - \hat{B E C}$ (2)

Mà $\hat{A D E} = \hat{B C E}$ ; $\hat{A E D} = \hat{B E C}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra, $\hat{D A E} = \hat{E B C}$ hay $\hat{D A C} = \hat{C B D}$ (điều phải chứng minh).

b) Xét ∆AED và ∆BEC ta có:

$\hat{D A E} = \hat{E B C}$ (chứng minh trên)

$\hat{A D E} = \hat{B C E}$ (giả thiết)

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (g – c – g).

c) Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{B A C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

$\hat{A B E} + \hat{B A E} + \hat{A E B} = 180 °$

Do đó, $2 \hat{A B E} = 180 ° - \hat{A E B}$ (vì $\hat{A B E} = \hat{B A E}$ do $\hat{A B D} = \hat{B A C}$ )

Suy ra $\hat{A B E} = \frac{180 ° - \hat{A E B}}{2}$ (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra $\hat{A C D} = \hat{B D C}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

$\hat{D C E} + \hat{E D C} + \hat{D E C} = 180 °$

Do đó, $2 \hat{E D C} = 180 ° - \hat{D E C}$ (vì $\hat{E D C} = \hat{D C E}$ do $\hat{A C D} = \hat{B D C}$ )

Suy ra $\hat{E D C} = \frac{180 ° - \hat{D E C}}{2}$ (5)

Lại có, $\hat{A E B}, \hat{D E C}$ là hai góc đối đỉnh nên $\hat{A E B} = \hat{D E C}$ (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra $\hat{A B E}$ = $\hat{E D C}$ hay $\hat{A B D} = \hat{B D C}$ .

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Bài 4.28 trang 62 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng AM = DN.

b) Trên hai cạnh AC và DF lấy hai điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc $\hat{A B C}$ và $\hat{D E F}$ . Chứng minh rằng: BP = EQ.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

a) Vì ∆ABC = ∆DEF nên

$\{\begin{cases} \hat{A B C} = \hat{D E F}; \hat{B A C} = \hat{E D F}; \\ \hat{A C B} = \hat{D F E} \\ A B = D E; B C = E F; A C = D F \end{cases}$

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2} B C$ .

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{1}{2} E F$ .

Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:

BM = EN (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\hat{A B M} = \hat{D E N}$ (do $\hat{A B C} = \hat{D E F}$ chứng minh trên)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – g – c).

Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).

b) Vì BP là tia phân giác của góc $\hat{A B P}$ nên $\hat{A B P} = \hat{P B C} = \frac{\hat{A B C}}{2}$

Vì EQ là tia phân giác của góc $\hat{D E F}$ nên $\hat{D E Q} = \hat{Q E F} = \frac{\hat{D E F}}{2}$

Mà $\hat{A B C}$ = $\hat{D E F}$ nên $\hat{P B C}$ = $\hat{Q E F}$ .

Xét ∆PBC và ∆QEF ta có:

BC = EF (chứng minh trên)

$\hat{P B C}$ = $\hat{Q E F}$ (chứng minh trên)

$\hat{P C B} = \hat{Q F E}$ (do $\hat{A C B} = \hat{D F E}$ chứng minh trên)

Do đó, ∆PBC = ∆QEF (g – c – g)

Suy ra, BP = EQ (hai cạnh tương ứng).

Bài 4.29 trang 62 Toán 7 Tập 1: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng ∆ABC = ∆DEF.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{B C}{2}$

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{E F}{2}$

Mà BC = EF (giả thiết) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:

AB = DE (giả thiết)

BM = EN (chứng minh trên)

AM = DN (giả thiết)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – c – c).

Suy ra, $\hat{A B M} = \hat{D E N}$ (hai góc tương ứng) hay $\hat{A B C} = \hat{D E F}$ .

Xét ∆ABC và ∆DEF ta có:

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

$\hat{A B C} = \hat{D E F}$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

Bài 4.30 trang 62 Toán 7 Tập 1:Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Sách bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\hat{A O B} = \hat{C O D}$ (hai góc đối đỉnh)

OB = OD (giả thiết)

Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).

Suy ra AB = DC và $\hat{B A O} = \hat{O C D}$ hay $\hat{B A C} = \hat{A C D}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).

Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\hat{A O D} = \hat{B O C}$ (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (giả thiết)

Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).

Suy ra AD = BC và $\hat{O A D} = \hat{O C B}$ hay $\hat{C A D} = \hat{A C B}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.

Do đó, AC = BD.

Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:

AB = DC (chứng minh trên)

AD: cạnh chung

BD = AC (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra $\hat{B A D} = \hat{C D A}$ .

Lại có: $\hat{B A D} + \hat{C D A} = 180 °$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Do đó: $\hat{B A D} = \hat{C D A} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ .

Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Ôn tập chương 4

Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

1. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

• Trong tam giác ABC, góc BAC (hay góc A) được gọi là góc xen giữa của hai cạnh AB và AC.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác (ảnh 1)

• Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ:

+ Tam giác ABC và tam giác EFD có cạnh AB = EF = 5cm; AC = ED = 3cm; góc A là góc xen giữa của cạnh AB và AC, góc E là góc xen giữa của cạnh EF và ED; $\hat{A} = \hat{E} = 79 °$ .

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác (ảnh 2)

Khi đó ta có $Δ A B C = Δ E F D$ theo trường hợp cạnh góc cạnh (c.g.c)

2. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g)

• Trong tam giác ABC, hai góc ABC, ACB (hay góc B và góc C) được gọi là hai góc kề cạnh BC của tam giác ABC.

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác (ảnh 3)

• Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ

+ Tam giác ABC và tam giác EFD có $\hat{B} = \hat{F} = 37 °$ ; $\hat{C} = \hat{D} = 64 °$ ; góc B và góc C là hai góc kề của cạnh BC, góc F và góc D là hai góc kề của cạnh FD; cạnh BC = FD = 6cm.

Khi đóta có < $Δ A B C = Δ E F D$ theo trường hợp góc cạnh góc (g.c.g)

Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài liên quan