Giải SGK Toán 7 Bài 3 (Kết nối tri thức): Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Video bài giảng Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ – Kết nối tri thức

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Giải Toán 7 trang 16 Tập 1

HĐ 1 trang 16 Toán lớp 7: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa rồi chỉ ra cơ số và số mũ của lũy thừa đó.

a) 2.2.2.2;                    b) 5.5.5

Phương pháp giải:

a.a….a (n thừa số a) = $a^n$

Lời giải:

a) 2.2.2.2 = $2^4$

b) 5.5.5 = $5^3$

HĐ 2 trang 16 Toán lớp 7: Thực hiện phép tính:

a) (-2).(-2).(-2)

b) (-0,5).(-0,5);

c) $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.$

Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân các số hữu tỉ

Lời giải:

a) (-2).(-2).(-2) = 4.(-2) = -8

b) (-0,5).(-0,5) = 0,25

c)

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\\ =\frac{\mathrm{1.1.1.1}}{\mathrm{2.2.2.2}}\\ =\frac{1}{16}\end{array}$

HĐ 3 trang 16 Toán lớp 7: Hãy viết các biểu thức trong HĐ 2 dưới dạng lũy thừa tương tự như lũy thừa của số tự nhiên

Phương pháp giải:

a.a….a (n thừa số a) = $a^n$

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)\left(-2\right).\left(-2\right).\left(-2\right)=(-2{)}^3\\ b)\left(-0,5\right).\left(-0,5\right)=(-0,5{)}^2\\ c)\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=(\frac{1}{2}{)}^4\end{array}$

Giải Toán 7 trang 17 Tập 1

Luyện tập 1 trang 17 Toán lớp 7: Tính:

$\begin{array}{l}a){\left(-\frac{4}{5}\right)}^4\\ b)(0,7{)}^3\end{array}$

Phương pháp giải:

$a^n$ = a.a….a (n thừa số a)

Lời giải:

$\begin{array}{l}a){\left(-\frac{4}{5}\right)}^4=\left(-\frac{4}{5}\right).\left(-\frac{4}{5}\right).\left(-\frac{4}{5}\right).\left(-\frac{4}{5}\right)\\ =\frac{16}{25}.\frac{16}{25}\\ =\frac{256}{625}\\ b)(0,7{)}^3=0,7.0,7.0,7\\ =0,49.0,7\\ =0,343\end{array}$

Luyện tập 2 trang 17 Toán lớp 7: Tính:

$\begin{array}{l}a){\left(\frac{2}{3}\right)}^{10}{.3}^{10}\\ b)(-125{)}^3{.25}^3\\ c)(0,08{)}^3{.10}^3\end{array}$

Phương pháp giải:

$a^n$ = a.a….a (n thừa số a)

$\begin{array}{l}(x.y{)}^n=x^n.y^n\\ (\frac{x}{y}{)}^n=\frac{x^n}{y^n}\end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}a){\left(\frac{2}{3}\right)}^{10}{.3}^{10}=\frac{2^{10}}{3^{10}}{.3}^{10}=2^{10}\\ b)(-125{)}^3:{25}^3=(-125:25{)}^3=(-5{)}^3=-125\\ c)(0,08{)}^3{.10}^3=(0,08 . {10}^3=(0,8{)}^3=0,512\end{array}$

Vận dụng trang 17 Toán lớp 7: Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh a dưới dạng lũy thừa. Từ đó viết biểu thức lũy thừa đẻ tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilomét khối).

Bài toán mở đầu:

Trái Đất, ngôi nhà chung của tất cả chúng ta có khoảng 71% diện tích bề mặt được bao phủ bởi nước. Nếu gom hết toàn bộ lượng nước trên Trái Đất để đổ đầy vào một bể chứa hình lập phương thì kích thước cạnh của bể lên tới 1 111,34 km.(Theo usgs.gov)

Muốn biết lượng nước trên Trái Đất là khoảng bao nhiêu kilomet khối, ta cần tính 1,1134. 1 111,34. 1 111,34. Biểu thức này có thể viết gọn hơn dưới dạng lũy thừa giống như lũy thừa của một số tự nhiên em đã học ở lớp 6.

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích hình lập phương cạnh a đã học: V = a.a.a . Viết công thức này ở dạng lũy thừa.

Lời giải:

Công thức tính thể tích hình lập phương cạnh a là:

V= a.a.a = $a^3$

Bài toán mở đầu:

Biểu thức lũy thừa tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilomét khối) là:

V =$(1111,34{)}^3$

2. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

HĐ 4 trang 17 Toán lớp 7: Tính và so sánh:

a) $(-3{)}^2.(-3{)}^4$ và $(-3{)}^6$;

b) $0,6^3:0,6^2$ và 0,6

Phương pháp giải:

Tính dựa vào định nghĩa lũy thừa

Lời giải:

$\begin{array}{l}\mathrm{a}) \mathrm{Ta} \mathrm{có} (-3{)}^2.(-3{)}^4=(-3).(-3).(-3).(-3).(-3).(-3) =(-3{)}^6\\ \mathrm{Do} \mathrm{đó} (-3{)}^2.(-3{)}^4=(-3{)}^6\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{b}) 0,6^3 : 0,6^2=\frac{0,6^3}{0,6^2}=\frac{(0,6).(0,6).(0,6)}{(0,6).(0,6)}=0,6\\ \mathrm{Do} \mathrm{đó} 0,6^3 : 0,6^2=0,6\end{array}$

Giải Toán 7 trang 18 Tập 1

Luyện tập 3 trang 18 Toán lớp 7: Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng lũy thừa.

$\begin{array}{l}a)(-2{)}^3.(-2{)}^4;\\ b)(0,25{)}^7:(0,25{)}^3\end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích và thương của lũy thừa có cùng cơ số:

$\begin{array}{l}{x}^m.x^n=x^{m+n};\\ x^m:x^n=x^{m-n}(x\ne 0;m\ge n)\end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)(-2{)}^3.(-2{)}^4=(-2{)}^{3+4}=(-2{)}^7\\ b)(0,25{)}^7:(0,25{)}^3=(0,25{)}^{7-3}=(0,25{)}^4\end{array}$

3. Lũy thừa của lũy thừa

HĐ 5 trang 18 Toán lớp 7: Viết số $(2^2{)}^3$ dưới dạng lũy thừa cơ số 2 và số ${\left[{(-3)}^2\right]}^2$ dưới dạng lũy thừa cơ số -3.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa lũy thừa và công thức tích các lũy thừa có cùng cơ số

Lời giải:

Ta có: +) $(2^2{)}^3=2^2{.2}^2{.2}^2=2^{2+2+2}=2^6$

+) ${\left[{(-3)}^2\right]}^2=(-3{)}^2.(-3{)}^2=(-3{)}^{2+2}=(-3{)}^4$

Luyện tập 4 trang 18 Toán lớp 7: Viết các số ${\left(\frac{1}{4}\right)}^8;{\left(\frac{1}{8}\right)}^3$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{2}$

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Viết các số $\frac{1}{4};\frac{1}{8}$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{2}$

+ Bước 2: Sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: $(x^m{)}^n=x^{m.n}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{4}\right)}^8=[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{]}^8=(\frac{1}{2}{)}^{2.8}=(\frac{1}{2}{)}^{16};\\ {\left(\frac{1}{8}\right)}^3=[(\frac{1}{2}{)}^3{]}^3=(\frac{1}{2}{)}^{3.3}=(\frac{1}{2}{)}^9\end{array}$

Thử thách nhỏ trang 18 Toán lớp 7: Cho hình vuông như Hình 1.12. Em hãy thay mỗi dấu “?” bằng một lũy thừa của 2, biết các lũy thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.

Phương pháp giải:

Tính tích của 3 ô in đậm ở đường chéo đã biết. Tích này chính là tích của từng hàng , cột.

Tính hàng, cột khi biết tích của hàng, cột và 2 ô của hàng, cột đó.

Lời giải:

Ta đặt các ô chưa biết như sau:

Ta có:

Tích của mỗi hàng, cột, đường chéo bằng: $2^3{.2}^4{.2}^5=2^{3+4+5}=2^{12}$

$\begin{array}{l}A=2^{12}:2^6:2^5=2^{12-6-5}=2^1=2;\\ B=2^{12}:2^1:2^3=2^{12-1-3}=2^8;\\ C=2^{12}:2^8:2^4=2^{12-8-4}=2^0=1;\\ D=2^{12}:2^0:2^5=2^{12-0-5}=2^7;\\ E=2^{12}:2^7:2^3=2^{12-7-3}=2^2\end{array}$

Vậy ta có bảng hoàn chỉnh là:

Bài tập

Bài 1.18 trang 18 Toán lớp 7: Viết các số 125; 3 125 dưới dạng lũy thừa của 5.

Phương pháp giải:

Lấy các số dưới dạng tích các thừa số 5 rồi sử dụng định nghĩa lũy thừa
Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}125=\mathrm{5.5.5}=5^3\\ 3125=\mathrm{5.5.5.5.5}=5^5\end{array}$

Bài 1.19 trang 18 Toán lớp 7: Viết các số ${\left(\frac{1}{9}\right)}^5;{\left(\frac{1}{27}\right)}^7$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{3}$.

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Viết các số $\frac{1}{9};\frac{1}{27}$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{3}$

+ Bước 2: Sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: $(x^m{)}^n=x^{m.n}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{9}\right)}^5=[{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{]}^5=(\frac{1}{3}{)}^{2.5}=(\frac{1}{3}{)}^{10};\\ {\left(\frac{1}{27}\right)}^7=[(\frac{1}{3}{)}^3{]}^7=(\frac{1}{3}{)}^{3.7}=(\frac{1}{3}{)}^{21}\end{array}$

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1).

${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n} \mathrm{thừa} \mathrm{số}}{\underbrace{\mathrm{x}\cdot \mathrm{x}\cdot \mathrm{x}\cdot ...\cdot \mathrm{x}}}$  (x $\in \mathrm{\mathbb{Q}}$, n $\in \mathrm{\mathbb{N}}$, n >1)

xⁿ đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x.

x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Quy ước: x⁰ = 1 (x ≠ 0); x¹ = x.

Ví dụ:

+ 5³ đọc là 5 mũ 3 hoặc 5 lũy thừa 3 hoặc lũy thừa bậc 3 của 5.

+  Tính ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4$

${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4=\frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}=\frac{\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{81}$

+ Tính và so sánh: $\frac{{12}^2}{6^2}$ và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

$\frac{{12}^2}{6^2}=\frac{144}{36}=4$ và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2={\left(-2\right)}^2=4$ nên $\frac{{12}^2}{6^2}={\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

Chú ý:

• Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa; lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.

${\left(\mathrm{x}\cdot \mathrm{y}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\cdot {\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}$;                               ${\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)}^{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}}$ (y ≠ 0).

Ví dụ:

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{15}.4^{15}={\left(\frac{3}{4}.4\right)}^{15}=3^{15}$;

25³ : 5³ = ${\left(\frac{25}{5}\right)}^3=5^3=125$.

2. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\cdot {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

• Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ số mũ của lũy thừa chia.

${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}:{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}}$ (x ≠ 0, m ≥ n)

Ví dụ: Tính:

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5$;

b) Tính ${\left(-9\right)}^5:{\left(-9\right)}^4$.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2+5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^7=\frac{128}{2187}$;

b) ${\left(-9\right)}^5:{\left(-9\right)}^4={\left(-9\right)}^{5-4}={\left(-9\right)}^1=-9$.

3. Lũy thừa của lũy thừa

• Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

${\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}\cdot \mathrm{n}}$

Ví dụ: Tính ${\left[{\left(-3\right)}^5\right]}^7$

Ta có: ${\left[{\left(-3\right)}^5\right]}^7={\left(-3\right)}^{5\cdot 7}={\left(-3\right)}^{35}$.

Mở rộng

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm của một số khác 0.

${\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}$ với n là số nguyên dương, x ≠ 0.

Ví dụ: $\frac{1}{100}=\frac{1}{{10}^2}={10}^{-2}$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 14

Bài 4: Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế

Luyện tập chung trang 23

Bài tập cuối chương 1