Trắc nghiệm Toán 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng
I. Nhận biết
Câu 1. Cho P là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. Kết luận nào sau đây đúng?
A. P là trung điểm của CD;
B. PC = PD;
C. DP = DC;
D. CP = CD.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B
Giải thích:
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Vì vậy ta có P cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng CD. Tức là, PC = PD.
Điểm P chưa chắc thuộc vào đoạn thẳng CD nên chưa thể kết luận P là trung điểm của đoạn thẳng CD được.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 2. Cho ∆MNP cân tại M và . Số đo của bằng:
A. 40°;
B. 100°;
C. 50°;
D. 90°.
Hướng dẫn giải
Đáp án: C
Giải thích:
Câu 3. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?
A. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau;
B. Một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân;
C. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án: D
Giải thích:
⦁ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Suy ra phương án A đúng.
⦁ Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Suy ra phương án B đúng.
⦁ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Suy ra phương án C đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 4. Đường trung trực của một đoạn thẳng là:
A. Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó;
B. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó;
C. Đường thẳng vừa đi qua trung điểm, vừa vuông góc với đoạn thẳng đó;
D. Đường thẳng song song với đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án: C
Giải thích:
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 5. Cho ∆ABC có AB = BC = 5 cm và C XXXv
. Khi đó ∆ABC là:
A. Tam giác đều;
B. Tam giác cân tại A;
C. Tam giác cân tại B;
D. Tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Đáp án: A
Giải thích:
Một tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.
Vì vậy ∆ABC là tam giác đều.
Vậy ta chọn phương án A.
II. Thông hiểu
Câu 1. Cho ∆ABC đều. Lấy các điểm D, E, F lần lượt trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Khi đó ∆DEF là:
A. Tam giác cân;
B. Tam giác đều;
C. Tam giác vuông;
D. Tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B
Giải thích:
Vì ∆ABC đều nên ta có AB = BC = CA và .
Ta có AB = BC (chứng minh trên) và AD = BE (giả thiết).
Suy ra AB – AD = BC – BE.
Do đó BD = EC.
Xét ∆BDE và ∆CEF, có:
BD = EC (chứng minh trên)
BE = CF (giả thiết)
.
Do đó ∆BDE = ∆CEF (c.g.c)
Suy ra DE = EF (cặp cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự, ta thu được DE = DF và EF = DF.
Khi đó DE = DF = EF.
Vì vậy ∆DEF là tam giác đều.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 2. Cho ∆ABC vuông tại A, AB < AC. Tia phân giác của 
cắt AC tại E. Từ E kẻ ED vuông góc với BC tại D. Kết luận nào sau đây đúng nhất?
A. ∆ABE = ∆DBE;
B. ∆BAD cân tại B;
C. BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD;
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án: D
Giải thích:
Xét ∆ABE và ∆DBE, có:
BE là cạnh chung.
(BE là phân giác của ).
.
Do đó ∆ABE = ∆DBE (cạnh huyền – góc nhọn)
Vì vậy phương án A đúng.
Ta có ∆ABE = ∆DBE (chứng minh trên)
Suy ra BA = BD và AE = DE (các cặp cạnh tương ứng)
Vì vậy BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD.
Do đó phương án C đúng.
Vì BA = BD nên ∆BAD cân tại B.
Vì vậy phương án B đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 3. Cho đoạn thẳng CD. Gọi A là trung điểm của CD. Kẻ một đường thẳng vuông góc với CD tại A. Trên đường thẳng đó, lấy điểm B sao cho . Khi đó ∆BCD là tam giác gì?
A. Tam giác tù;
B. Tam giác đều;
C. Tam giác vuông cân;
D. Tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có AC = AD (A là trung điểm của CD) và AB ⊥ CD (giả thiết)
Suy ra AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Do đó BD = BC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)
Vì vậy ∆BCD cân tại B.
Mà ∆BCD có (giả thiết)
Do đó ∆BCD là tam giác đều.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 4. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D ∈ AC, E ∈ AB sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Kết luận nào sau đây đúng nhất?
A. AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC;
B. ∆IBC cân tại I;
C. Cả A và B đều đúng;
D. Cả A và B đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án: C
Giải thích:
Xét ∆ABD và ∆ACE, có:
AB = AC (∆ABC cân tại A)
AD = AE (giả thiết)
là góc chung.
Do đó ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)
Suy ra (cặp góc tương ứng)
Ta có (∆ABC cân tại A) và (chứng minh trên)
Suy ra .
Khi đó .
Suy ra ∆IBC cân tại I. Do đó phương án B đúng.
Vì ∆IBC cân tại I nên IB = IC, khi đó I thuộc đường trung trực của BC.
Mặt khác ∆ABC cân tại A nên AB = AC, khi đó A thuộc đường trung trực của BC.
Từ đó ta có AI là đường trung trực của BC.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 5. Cho ∆ABC vuông tại A có hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại D. Vị trí của điểm D là:
A. D là trung điểm BC;
B. D là trung điểm của AB;
C. D là trung điểm của AC;
D. D là điểm trong tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Đáp án: A
Giải thích:
Gọi điểm M là giao điểm của đường trung trực của AB với BC.
Vì M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.
Suy ra tam giác MAB cân tại M
⇒
Ta có: và
⇒
⇒ Tam giác MAC cân tại M
⇒ MA = MC ⇒ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC
Vậy M là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC hay ta có M trùng D.
Ta có DA = DB, DA = DC nên DB = DC
Vậy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu 6. Cho ∆ABC có . Kẻ đường phân giác BD, từ D kẻ DE //BC (E ∈ AB). Số tam giác cân là:
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: A
Giải thích:
∆ABC có BD là đường phân giác.
Suy ra .
Do đó ∆BCD cân tại D.
Ta có BD // BC (giả thiết)
Suy ra (cặp góc so le trong)
Mà (chứng minh trên)
Do đó .
Suy ra ∆BED cân tại E.
Do đó có 2 tam giác cân
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 7. Cho khác góc bẹt, từ một điểm M trên tia phân giác của . Từ M kẻ MA vuông góc với Ox và MB vuông góc với Oy. Phát biểu nào dưới đây là sai?
A. M cách đều hai cạnh của góc ;
B. ∆OAB đều;
C. OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;
D. ∆MAB cân tại M.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B
Giải thích:
Xét ∆OAM và ∆OBM, có;
OM là cạnh chung.
(OM là tia phân giác của )
.
Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó tam giác OAB cân tại O, tam giác MAB cân tại M và khoảng cách từ M đến hai cạnh của là bằng nhau. Vì vậy A và D đúng và B sai.
Khi đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Do đó C đúng.
Vậy chọn đáp án B.
III. Vận dụng
Câu 1. Cho hình vẽ bên.
Vị trí của điểm M trên đường thẳng (a) để MA + MB nhỏ nhất là:
A. M trùng N;
B. M là điểm bất kì trên đường thẳng (a);
C. M trùng H;
D. Không có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hướng dẫn giải
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có (a) đi qua trung điểm H của đoạn thẳng AC và vuông góc với AC tại H.
Suy ra (a) là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Vì M ∈ (a) nên M cách đều A và C. Tức là, MA = MC.
Ta có MA + MB = MC + MB ≥ BC.
Vì vậy MA + MC nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MC = BC.
Tức là M là giao điểm của (a) và BC.
Khi đó M trùng N.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 2. Cho ∆MAB, ∆NAB, ∆PAB là tam giác cân chung đáy AB. Kết luận nào sau đây sai?
A. P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB;
B. M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB;
C. N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB;
D. Ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có ∆MAB cân tại M.
Suy ra MA = MB.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Chứng minh tương tự, ta được N, P cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Vì vậy phương án A, B, C đúng, phương án D sai.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ BE và CF lần lượt vuông góc với AC và AB (E ∈ AC, F ∈ AB). Gọi H là giao điểm của BE và CF, D là trung điểm của BC.
A. A, H, D thẳng hàng;
B. AH là tia phân giác của .
C. HD là đường trung trực của BC.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án: D
Giải thích:
+) Xét ∆ABE và ∆ACF, có:
AB = AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
là góc chung
Do đó ∆ABE = ∆ACF (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)
+) Xét ∆AEH và ∆AFH, có:
AH là cạnh chung.
AE = AF (chứng minh trên)
Do đó ∆AEH = ∆AFH (cạnh góc vuông – cạnh huyền)
Suy ra (cặp góc tương ứng) và EH = FH (cặp cạnh tương ứng)
Ta có nên AH là tia phân giác nên phát biểu B đúng.
+) Xét ∆BFH và ∆CEH, có:
HF = HE (chứng minh trên)
(hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆BFH = ∆CEH (cạnh góc vuông – góc nhọn)
Suy ra HB = HC
Do đó H thuộc đường trung trực của BC.
Mặt khác ta có AB = AC nên A cũng thuộc trung trực của BC.
Suy ra AH là đường trung trực của BC nên AH đi qua điểm D khi đó A, H, D thẳng hàng hay ta cũng có HD là trung trực của BC. Do đó phát biểu A đúng và C đúng.
Vậy chọn đáp án D.
Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Trắc nghiệm Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng
Trắc nghiệm Bài ôn tập cuối chương 4
Trắc nghiệm Thu thập và phân loại dữ liệu
Trắc nghiệm Biểu đồ hình quạt tròn