Giải SGK Toán 11 Bài 19 (Kết nối tri thức): Lôgarit

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 19: Lôgarit

Giải Toán 11 trang 10 Tập 2

Mở đầu trang 10 Toán 11 Tập 2: Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Khi đó sau n năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau:

A = 100 ∙ (1 + 0,06)ⁿ (triệu đồng).

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được không dưới 150 triệu đồng?

Lời giải:

Sau bài học, ta giải quyết được bài toán như sau:

Ta có: A = 100 ∙ (1 + 0,06)ⁿ = 100 ∙ 1,06ⁿ.

Với A = 150, ta có: 100 ∙ 1,06ⁿ = 150 hay 1,06ⁿ = 1,5, tức là n = log_1,061,5 ≈ 6,96.

Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức là 1 năm) nên n phải là số nguyên. Do đó ta chọn n = 7.

Vậy sau ít nhất 7 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là 150 triệu đồng.

1. Khái niệm Lôgarit

HĐ1 trang 10 Toán 11 Tập 2: Nhận biết khái niệm lôgarit

Tìm x, biết:

a) 2^x = 8;

b) $2^{x} = \frac{1}{4}$ ;

c) $2^{x} = \sqrt{2}$ .

Lời giải:

a) 2^x = 8 ⇔ 2^x = 2³ ⇔ x = 3.

b) $2^{x} = \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 2^{x} = 2^{- 2} \Leftrightarrow x = - 2$ .

c) $2^{x} = \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 2^{x} = 2^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Luyện tập 1 trang 11 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) $\log_{3} 3 \sqrt{3}$ ;

b) $\log_{\frac{1}{2}} 32$ .

Lời giải:

a) $\log_{3} 3 \sqrt{3} = \log_{3} (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_{3} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$ .

b) $\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{- 5} = - 5$ .

2. Tính chất của Lôgarit

Giải Toán 11 trang 11 Tập 2

HĐ2 trang 11 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc tính lôgarit

Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

a) log₂(MN) và log₂M + log₂N;

b) $\log_{2} (\frac{M}{N})$ và log₂M – log₂N.

Lời giải:

a) Ta có log₂(MN) = log₂(2⁵ ∙ 2³) = log₂(2^{5 + 3}) = log₂2⁸ = 8

và log₂M + log₂N = log₂2⁵ + log₂2³ = 5 + 3 = 8.

Vậy log₂(MN) = log₂M + log₂N.

b) Ta có $\log_{2} (\frac{M}{N}) = \log_{2} (\frac{2^{5}}{2^{3}}) = \log_{2} 2^{5 - 3} = \log_{2} 2^{2} = 2$

và log₂M – log₂N = log₂2⁵ – log₂2³ = 5 – 3 = 2.

Vậy $\log_{2} (\frac{M}{N})$ = log₂M – log₂N.

Luyện tập 2 trang 11 Toán 11 Tập 2: Rút gọn biểu thức:

A = log₂(x³ – x) – log₂(x + 1) – log₂(x – 1) (x > 1).

Lời giải:

Với x > 1, ta có

A = log₂(x³ – x) – log₂(x + 1) – log₂(x – 1)

= $\log_{2} \frac{x^{3} - x}{x + 1} - \log_{2} (x - 1)$

= $\log_{2} \frac{x (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

= $\log_{2} \frac{x (x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \log_{2} x$ .

HĐ3 trang 11 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit

Giả sử đã cho log_aM và ta muốn tính log_bM. Để tìm mối liên hệ giữa log_aM và log_bM, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt y = log_aM, tính M theo y;

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra
công thức mới để tính y.

Lời giải:

a) Đặt y = log_aM, theo định nghĩa về lôgarit, ta suy ra M = a^y.

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của M = a^y ta được

log_bM = log_ba^y ⇔ log_bM = y log_ba $\Leftrightarrow y = \frac{\log_{b} M}{\log_{b} a}$ .

Giải Toán 11 trang 12 Tập 2

Luyện tập 3 trang 12 Toán 11 Tập 2: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính $\log_{9} \frac{1}{27}$ .

Lời giải:

Ta có $\log_{9} \frac{1}{27} = \log_{3^{2}} 3^{- 3} = \frac{\log_{3} 3^{- 3}}{\log_{3} 3^{2}} = \frac{- 3}{2}$ .

3. Lôgarit thập phân và Loogarit tự nhiên

Giải Toán 11 trang 14 Tập 2

Vận dụng trang 14 Toán 11 Tập 2: Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:

– Lãi kép kì hạn 12 tháng;

– Lãi kép kì hạn 1 tháng;

– Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

a) Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng là

100 ∙ (1 + 0,06) = 106 (triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép kì hạn 1 tháng là

$100 \cdot {(1 + \frac{0, 06}{12})}^{12} \approx 106, 17$ (triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép liên tục là

100 ∙ e^{0,06 . 1} ≈ 106,18 (triệu đồng).

b) Gọi t (năm) là thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục.

Ta có: 150 = 100 ∙ e^0,06t. Suy ra 0,06t = ln1,5 hay t ≈ 6,8 năm.

Bài tập

Bài 6.9 trang 14 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) log₂2^{– 13};

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$ ;

c) log₈16 – log₈2;

d) log₂6 ∙ log₆8.

Lời giải:

a) log₂2^{– 13} = – 13.

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ .

c) log₈16 – log₈2 = $\log_{8} \frac{16}{2} = \log_{8} 8 = 1$ .

d) log₂6 ∙ log₆8 = $\log_{2} 6 \cdot \frac{\log_{2} 8}{\log_{2} 6} = \log_{2} 8 = \log_{2} 2^{3} = 3$ .

Bài 6.10 trang 14 Toán 11 Tập 2: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $A = \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x + 1}{x}) - \ln (x^{2} - 1)$ ;

b) $B = 21 \log_{3} \sqrt[3]{x} + \log_{3} (9 x^{2}) - \log_{3} 9$ .

Lời giải:

a) $A = \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x + 1}{x}) - \ln (x^{2} - 1)$

$= \ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}) - \ln (x^{2} - 1)$

$= \ln \frac{x + 1}{x - 1} - \ln (x^{2} - 1)$

$= \ln \frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$

$= \ln \frac{x + 1}{(x - 1) (x - 1) (x + 1)}$

$= \ln \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = - \ln {(x - 1)}^{2}$ .

b) $B = 21 \log_{3} \sqrt[3]{x} + \log_{3} (9 x^{2}) - \log_{3} 9$

$= 21 \log_{3} x^{\frac{1}{3}} + \log_{3} (9 x^{2}) - \log_{3} 9$

$= \log_{3} x^{\frac{21}{3}} + \log_{3} (9 x^{2}) - \log_{3} 9$

$= \log_{3} x^{7} + \log_{3} (9 x^{2}) - \log_{3} 9$

$= \log_{3} \frac{x^{7} \cdot 9 x^{2}}{9} = \log_{3} x^{9}$ .

Giải Toán 11 trang 15 Tập 2

Bài 6.11 trang 15 Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2 \log_{9} 25 - \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5}$ ;

b) $B = \log_{a} M^{2} + \log_{a^{2}} M^{4}$ .

Lời giải:

a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2 \log_{9} 25 - \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5}$

$= \log_{3^{- 1}} 5 + 2 \log_{3^{2}} 5^{2} - \log_{3^{\frac{1}{2}}} 5^{- 1}$

$= - \log_{3} 5 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \log_{3} 5 + 2 \log_{3} 5$

$= 3 \log_{3} 5$ .

b) $B = \log_{a} M^{2} + \log_{a^{2}} M^{4}$ $= 2 \log_{a} M + \frac{1}{2} \cdot 4 \log_{a} M = 4 \log_{a} M$ .

Bài 6.12 trang 15 Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = log₂3 ∙ log₃4 ∙ log₄5 ∙ log₅6 ∙ log₆7 ∙ log₇8;

b) B = log₂2 ∙ log₂4 ∙∙∙ log₂2ⁿ.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có:

A = log₂3 ∙ log₃4 ∙ log₄5 ∙ log₅6 ∙ log₆7 ∙ log₇8

$= \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 6}{\log 5} \cdot \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 7}$

$= \frac{\log 8}{\log 2} = \log_{2} 8 = \log_{2} 2^{3} = 3$ .

b) B = log₂2 ∙ log₂4 ∙∙∙ log₂2ⁿ

= log₂2 ∙ log₂2² ∙∙∙ log₂2ⁿ

= 1 ∙ 2 ∙ … ∙ n = n!.

Bài 6.13 trang 15 Toán 11 Tập 2: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

a = 15 500(5 – log p),

trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển.

Lời giải:

Ta có đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển nên a = 8 850.

Khi đó 15 500(5 – log p) = 8 850 $\Leftrightarrow \log p = \frac{1373}{310}$ $\Leftrightarrow p = 10^{\frac{1373}{310}} \approx 26855, 44$ .

Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest xấp xỉ 26 855,44 Pa.

Bài 6.14 trang 15 Toán 11 Tập 2: Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:

$L (I) = 10 \log \frac{I}{I_{0}}$ ,

trong đó I₀ = 10^{– 12}W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^{– 7}W/m².

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^{– 3}W/m².

Lời giải:

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^{– 7}W/m² là

$L_{1} = 10 \log \frac{I}{I_{0}} = 10 \log \frac{10^{- 7}}{10^{- 12}} = 10 \log 10^{5} = 50 (d B)$ .

b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^{– 3}W/m² là

$L_{2} = 10 \log \frac{I}{I_{0}} = 10 \log \frac{10^{- 3}}{10^{- 12}} = 10 \log 10^{9} = 90 (d B)$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Bài 19: Lôgarit

Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6

Lý thuyết Lôgarit

1. Khái niệm Lôgarit

Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực $α$ để $a^{α} = M$ được gọi là lôgarit cơ số a của M và kí hiệu là $\log_{a} M$ .

$α = \log_{a} M \Leftrightarrow a^{α} = M$ .

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1. Từ định nghĩa lôgarit, ta có các tính chất sau:

Với $0 < a \neq 1, M > 0$ và $α$ là số thực tùy ý, ta có:

$\begin{array}{l} \log_{a} 1 = 0; \log_{a} a = 1; \\ a^{\log_{a} M} = M; \log_{a} a^{α} = α . \end{array}$

2. Tính chất của lôgarit

a) Quy tắc tính lôgarit

Giả sử a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, $α$ là số thực tùy ý. Khi đó:

$\begin{array}{l} \log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N; \\ \log_{a} (\frac{M}{N}) = \log_{a} M - \log_{a} N; \\ \log_{a} M^{α} = α \log_{a} M . \end{array}$

b) Đổi cơ số của lôgarit

Với các cơ số lôgarit a và b bất kì ( $0 < a \neq 1, 0 < b \neq 1$ ) và M là số thực dương tùy ý, ta luôn có:

$\log_{a} M = \frac{\log_{b} M}{\log_{b} a}$ .

3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgatit thập phân của M, kí hiệu là $\log M$ hoặc $\lg M$ (đọc là lốc của M).

b) Số e và lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số e của một số dương M gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là $\ln M$ (đọc là lôgarit Nêpe của M).

Bài liên quan