20 Bài tập Dãy số (sách mới) có đáp án – Toán 11

Bài tập Toán 11 Dãy số

A. Bài tập Dãy số

Bài 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_n) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) u­_n = 4n – 2;

b) u_n = 3 . 2ⁿ + 1.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 6, 10, 14, 18.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u­₁₀₀ = 4.100 – 2 = 398.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 7, 13, 25, 49, 97.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u₁₀₀ = 3 . 2¹⁰⁰ + 1.

Bài 2: Dãy số (u_n) cho bởi hệ thức truy hồi: u₁ = 1, u­_n = n . u_n-1 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.

b) Ta thấy u₁ =1!, u₂ = 2!, u₃ = 3!, u₄ = 4!, u₅ = 5!.

Vậy công thức số hạng tổng quát là u_n = n!.

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 3n – 1;

b) u_n = – 3n + 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: u_n+1 – u_n = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = (3n + 2) – 3n + 1 = 3 > 0, tức là u_n+1 > u_n

Suy ra đây là dãy số tăng.

b) Ta có: u_n+1 – u_n = [–3(n + 1) + 1] – (–3n + 1) = (–3n – 2) + 3n – 1 = – 3 < 0, tức là u_n+1 < u_n.

Suy ra đây là dãy số giảm.

Bài 4: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = 2n – 1;

b) u_n = $\frac{2n+2}{2n+3}$;

c) u_n = cos n.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n – 1 ≥ 1 với ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới.

b) Dãy số (u_n) bị chặn trên, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}=\frac{2n+3-1}{2n+3}=1-\frac{1}{2n+3}<1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}\ge 0$, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

c) Ta có: −1 ≤ cos n ≤ 1 ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 2;

b) Khi chia cho 3 dư 1.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n (∀n ∈ ℕ^*).

b) u_n = 3n + 1 (∀n ∈ ℕ^*).

Bài 6: Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 7% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

$A_n$= 50.

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Hướng dẫn giải

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là:

$A_1$= 50 = 50,2917 (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là:

$A_2$= 50 = 50,585 (triệu đồng).

b) 1 năm = 12 tháng

Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là:

$A_{12}$= 50 = 53,6145 (triệu đồng).

Bài 7. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi $u_n=\frac{n+1}{2^n}$ với n ∈ ℕ*.

a) Liệt kê 3 số hạng đầu của dãy số (u_n).

b) Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $u_1=\frac{1+1}{2^1}=1,u_2=\frac{2+1}{2^2}=\frac{3}{4},u_3=\frac{3+1}{2^3}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)+1}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}$

$=\frac{n+2}{{2.2}^n}-\frac{n+1}{2^n}=\frac{n+2-2n-2}{{2.2}^n}=\frac{-n}{2^{n+1}}<0$

⇔ u_{n + 1} < u_n.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Bài 8. Xét tính bị chặn của dãy số sau: u_n = 4 – 3n – n².

Hướng dẫn giải

Ta có: u_{n + 1} – u_n = 4 – 3(n + 1) – (n + 1)² – (4 – 3n – n²)

= 4 – 3n – 3 – n² – 2n – 1 – 4 + 3n + n²

= − 2n − 4

⇔ u_{n + 1} < u_n.

⇒ (u_n) là dãy số giảm, tức là n càng tăng thì u_n càng giảm ⇒ (u_n) không bị chặn dưới.

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 9. Cho dãy số (u_n) bởi hệ thức truy hồi: $u_1=\frac{1}{2},u_{n+1}=2u_n.$ Tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Ta có: $u_1=\frac{1}{2}=2^{-1};u_2=1=2^0;u_3=2=2^1;u_4=4=2^2.$

Ta nhận thấy u₁ = 2^{1 – 2}; u₂ = 2^{2 – 2}; u₃ = 2^{3 – 2}; u₄ = 2^{4 – 2}.

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 2}.

Bài 10. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}.$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8;                               

B. 6;                                

C. 5;                                

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta cần tìm n sao cho $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}\iff 15n+15=16n+8\iff n=7.$

Bài 11. Cho dãy số (u_n) với u_n = (–1)ⁿ.2n.

a) Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy;

b) Viết dạng khai triển của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Sáu số hạng đầu của dãy là:

u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –6; u₄ = 8; u₅ = –10; u₆ = 12.

b) Dạng khai triển của dãy (u_n) là: –2, 4, –6, 8, …., (–1)ⁿ.2n, ….

Bài 12. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với $u_n=\frac{4}{3}-n^2$ là dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

Vì n ∈ ℕ* nên 2n + 1 ≥ 3

Suy ra  –(2n + 1) ≤ –3 < 0

Do đó u_n+1 < u_n, suy ra dãy số là dãy số giảm.

• Vì n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ* nên –n² ≤ –1

Suy ra $\frac{4}{3}-n^2\le \frac{1}{3}$

Hay $u_n\le \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 13. Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau:

a) Cho dãy số (u_n) với u_n là các số chính phương được sắp xếp từ bé đến lớn (1)

b) Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n}{n^2+1}$(2)

c)  Cho dãy số (u_n) với  u₁ = –1, u_n = 2u_{n – 1} + 3 (với n > 1) (3)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (1) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

b) Dãy số (2) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

c) Dãy (3) được xác định bằng phương pháp truy hồi.

B. Lý thuyết Dãy số

1. Dãy số là gì?

1.1. Dãy số vô hạn

– Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là

$u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to ℝ$

$n\mapsto u_n=u\left(n\right).$

– Ta có thể kí hiệu dãy số trên là (u_n), và (u_n) được viết dưới dạng khai triển là: u₁, u₂, u₃,…., u_n,….

– Số u₁ được gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý:

• Số u₁ = u(1) được gọi là số hạng đầu, u_n = u(n) là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

• Nếu ∀n ∈ ℕ*, u_n = C thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ:

+ Dãy số (u_n) bao gồm các số nguyên dương chia hết cho 3: 3; 6; 9; 12; …

Ta có: dãy (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3 và số hạng tổng quát u_n = 3n.

1.2. Dãy số hữu hạn

– Hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; …; m} với ∀m ∈ ℕ* được gọi là một dãy số hữu hạn.

– Dãy số hữu hạn được khai triển dưới dạng u₁, u₂, u₃,…., u_m. Trong đó, u₁ được gọi là số hạng đầu, u_m được gọi là số hạng cuối.

Ví dụ:

+ Dãy số (u_n) bao gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

Ta có: các số hạng của dãy số (u_n) là: 2; 4; 6; 8. Số hạng đầu của dãy số này là 2 và số hạng cuối của dãy số là 8.

2. Cách xác định dãy số

Một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).

Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát u_n.

Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là:

• Cho số hạng thứ nhất u₁ (hoặc một vài số hạng đầu tiên).

• Cho một công thức tính un theo u_{n – 1} (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Cách 4: Cho bằng cách mô tả.

Ví dụ:

+ Liệt kê các số hạng:

Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số lẻ lớn hơn 12: 13; 15; 17; …

+ Công thức của số hạng tổng quát:

Cho công thức của số hạng tổng quát: u_n = 3n – 1.

+ Hệ thức truy hồi:

Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hỏi: u₁ = 2, u_n = 5u_{n – 1} + 1 với n ≥ 2.

+ Phương pháp mô tả:

Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự giảm dần.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (u_n) là dãy số tăng nếu u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ*.

– Dãy số (u_n) là dãy số giảm nếu u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ*.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = −5n + 3.

Ta có: u_{n + 1} – u_n = −5(n + 1) + 3 – (−5n + 3)

= −5n − 5 + 3 + 5n − 15 = −17 < 0 (tức là u_{n + 1} < u_n, ∀n ∈ ℕ*).

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≥ M, ∀n ∈ ℕ*.

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số m và M sao cho

M ≤ u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = n – 2.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì u_n = n – 2 > −2, ∀n ∈ ℕ*.

Video bài giảng Toán 11 Bài 5: Dãy số – Kết nối tri thức