Bài tập Toán 11 Hai đường thẳng song song trong không gian
A. Bài tập Hai đường thẳng song song trong không gian
Bài 1: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
a) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
b) Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
c) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
Hướng dẫn giải
a) Sai. Hai đường thẳng không có điểm chung có thể là hai đường thẳng song song.
b) Đúng.
c) Đúng.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì ba đường thẳng PQ, RS và AC hoặc song song hoặc đồng quy.
Hướng dẫn giải
P(ABC)
Mà P ∈ (PQRS) suy ra P ∈ (PQRS) ∩ (ABC)
Tương tự Q ∈ (PQRS) suy ra Q ∈ (PQRS) ∩ (ABC)
Suy ra: PQ = (PQRS) ∩ (ABC)
Chứng minh tương tự với RS, ta được RS = (PQRS) ∩ (ABC)
Ta có: AC = (ABC) ∩ (ACD)
Theo tính chất, suy ra ba đường thẳng PQ, RS và AC đôi một song song hoặc đồng quy.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác PQCD là hình thang.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác SAB ta có PQ là đường trung bình suy ra PQ // AB.
Mà AB // CD (theo giả thiết) do đó PQ // CD.
Suy ra PQCD là hình thang.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao tuyến của (GIJ) và (BCD)?
Hướng dẫn giải
Ta thấy: G ∈ (GIJ) ∩ (BCD)
Vì I, J là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra IJ // CD.
Mà IJ ⸦ (GIJ), CD ⸦ (BCD)
Suy ra: giao tuyến của 2 mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là 1 đường thẳng d đi qua G và song song với CD.
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB và CD là hai đường chéo nhau.
Hướng dẫn giải
Do ABCD là một tứ diện đều nên bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc mặt phẳng hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Từ đó suy ra hai đường thẳng AB và CD không đồng phẳng.
Vậy AB và CD chéo nhau.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA. Gọi a là giao tuyến của (SAB) và (SCD); b là giao tuyến của (SAB) và (MCD). Chứng minh: a // b.
Hướng dẫn giải
Ta có: S (SAB) (SCD)
AB (SAB) và CD (SCD)
Và AB // CD
Suy ra (SAB) (SCD) = a, với a // AB // CD (1)
Lại có: M (SAB) (MCD)
AB (SAB) và CD (MCD)
Và AB // CD
Suy ra (SAB) (MCD) = b, với b // AB // CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra a // b (Cùng song song với AB và CD).
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên BD lấy điểm E bất kì. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt CD tại F. Tứ giác MNFE là hình gì?
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABD có M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AD
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABD
Do đó MN // BD
Lại có theo bài ra: EF // BD
Vậy suy ra MN // EF (cùng song song với cạnh BD)
Khi đó tứ giác MNFE là hình thang.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ.
Hướng dẫn giải
Ta có N = AB ∩ NQ.
Suy ra N là giao điểm của đường thẳng NQ và mặt phẳng (ABP).
Do đó Q không thuộc mặt phẳng (ABP).
Mà M, N, P đều thuộc mặt phẳng (ABP).
Suy ra bốn điểm M, N, P, Q không đồng phẳng.
Vậy hai đường thẳng MP và NQ chéo nhau.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng IJ // EF.
Hướng dẫn giải
Tam giác SCD có E, F lần lượt là trung điểm của SC, SD.
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác SCD.
Do đó EF // CD.
Chứng minh tương tự, ta được IJ // AB.
Mà AB // CD (do tứ giác ABCD là hình bình hành).
Suy ra IJ // CD.
Vậy EF // IJ // CD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB, đáy nhỏ CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND). Gọi I là giao điểm của AN và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
Hướng dẫn giải
Trong (ABCD): gọi E = AD ∩ BC.
Mà AD ⊂ (AND) và BC ⊂ (SBC).
Suy ra E ∈ (AND) và E ∈ (SBC).
Trong (SBC): gọi P = SC ∩ NE.
Mà NE ⊂ (AND).
Vì vậy P là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (AND).
Ta có I = AN ∩ DP.
Mà AN ⊂ (SAB) và DP ⊂ (SCD).
Suy ra I cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Mà S cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó SI = (SAB) ∩ (SCD).
Lại có AB = (SAB) ∩ (ABCD) và CD = (SCD) ∩ (ABCD).
Mà trong (ABCD), ta lại có AB // CD (do ABCD là hình thang với đáy lớn AB, đáy nhỏ CD).
Do đó SI // AB // CD.
Tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SAB.
Do đó MN // AB.
Vì vậy MN // SI (do AB // SI).
Mà N là trung điểm SA.
Do đó M là trung điểm AI.
Tứ giác SABI có hai đường chéo SB và AI cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
Vậy tứ giác SABI là hình bình hành.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, N là trung điểm của AD, M là trung điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MG // CN
B. MG và CN cắt nhau
C. MG // AB
D. MG và CN chéo nhau
Bài 12. Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c // a. Những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c
A. Chỉ có (1) sai.
B. Chỉ có (2) sai
C. Chỉ có (3) sai
D. (1), (2) và (3) đều sai
Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. MN // BD và 2MN = BD
B. MN // PQ và MN = PQ
C. MNPQ là hình bình hành
D. MP và NQ chéo nhau
B. Lý thuyết Hai đường thẳng song song trong không gian
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:
– Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b.
Khi đó, ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có 3 khả năng xảy ra:
• Nếu a và b có hai điểm chung thì ta nói a trùng b.
Kí hiệu: a b
• Nếu a và b có một điểm chung duy nhất M thì ta nói a và b cắt nhau tại M.
Kí hiệu: a b = M
• Nếu a và b không có điểm chung thì ta nói a và b song song với nhau.
Kí hiệu: a // b
– Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b.
Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Chú ý:
• Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
• Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
Kí hiệu: mp(a, b)
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB và CD chéo nhau.
Đường thẳng AC và BD chéo nhau.
Đường thẳng AD và BC chéo nhau.
2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Vẽ hình bình hành SMBA. Gọi d là đường thẳng đi qua S và song song với AB. Chứng minh M nằm trên đường thẳng d.
Hướng dẫn giải
Ta có: SMBA là hình bình hành, suy ra SM // AB.
Do trong không gian, chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua S và song song với AB, suy ra SM phải trùng d.
Vậy điểm S thuộc đường thẳng d.
Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau tại ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Tìm ba mặt phẳng có ba giao tuyến đồng quy.
Hướng dẫn giải
Ba mặt phẳng (ABC), (ACD) và (ADB) đôi một cắt nhau tại ba giao tuyến phân biệt AC, AD và AD.
Ba giao tuyến trên đồng quy tại điểm A.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SAB)
Hướng dẫn giải
Ta có: M (SAB) (MCD)
AB (SAB) và CD (MCD)
Và AB // CD
Suy ra (SAB) (MCD) = Md, với Md // AB // CD.
Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Chú ý: Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thằng c thì ta có thể kí hiệu là a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng MN // AB, từ đó suy ra MN // CD.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB.
Từ đó suy ra MN // AB.
Lại có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) nên từ đó ta có MN // CD (vì cùng song song với đường thẳng AB).
Video bài giảng Toán 11 Bài 11: Hai đường thẳng song song – Kết nối tri thức