Giải Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 3

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.17 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Nếu mặt phẳng chiếu đứng song song với mặt phẳng (ABB’A’) thì các hình chiếu đứng của A và D trùng nhau.

b) Nếu mặt phẳng chiếu bằng song song với mặt phẳng (ABCD) thì các hình chiếu bằng của C và C’ trùng nhau.

c) Nếu mặt phẳng chiếu cạnh song song với mặt phẳng (BCC’B’) thì các hình chiếu cạnh của A và C trùng nhau.

Lời giải:

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề đúng là: a, b.

Bài 3.18 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Bản vẽ trong Hình 3.50 có đáp ứng các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.

Bài 3.18 trang 80 Chuyên đề Toán 11

Lời giải:

Bản vẽ trong Hình 3.50 thể hiện duy nhất một vật thể cần được biểu diễn, tuy nhiên kích thước của vật thể không được xác định đầy đủ từ bản vẽ nên bản vẽ không đáp ứng được nguyên tắc đầy đủ của vẽ kĩ thuật. Kích thước bị thiếu là:

Bài 3.18 trang 80 Chuyên đề Toán 11

Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P₁), (P₂) và (P₃) giao nhau tại O. Gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P₁), (P₂) và (P₃). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P₁) và (P₂), (P₂) và (P₃), (P₃) và (P₁).

a) Chứng minh OA² = OM² + ON² + OP².

b) Áp dụng ý a để chứng minh $O A = \sqrt{\frac{O A_{1}^{2} + O A_{2}^{2} + O A_{3}^{2}}{2}}$ .

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Lời giải:

Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA² = OM² + AM² (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA² = ON² + AN² (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA² = OP² + AP² (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được:

3OA² = (OM² + ON² + OP²) + (AM² + AN² + AP²)

Ta chứng minh được: AM² + AN² + AP² = 2OA². (4)

Suy ra: OA² = OM² + ON² + OP².

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA₃ nên AM vuông góc AA₃

Mà AA₃ vuông góc với OA₃

Suy ra: AM // OA₃ và AA₃ // OM nên AMOA₃ là hình bình hành.

Do đó: AM = OA₃.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA₁, AP = OA₂.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: $O A_{3}^{2} + O A_{2}^{2} + O A_{1}^{2} = 2 O A_{2}$ .

Suy ra $O A = \sqrt{\frac{O A_{1}^{2} + O A_{2}^{2} + O A_{3}^{2}}{2}}$ .

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Thay số vào kết quả trên ta được: $O A = \sqrt{\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}{2}} = \sqrt{7}$ (cm).

Bài 3.20 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Bạn Long nói rằng khi vẽ hình chiếu trục đo thì các hệ số biến dạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Bạn Long nói đúng hay sai? Vì sao?

Lời giải:

Bạn Long không đúng. Vì hệ số biến dạng p, q, r là tỷ số giữa kích thước trên hình vẽ và kích thước thực của vật thể theo các trục x, y, z nên nếu trong trường hợp kích thước hình vẽ lớn hơn kích thước thực của vật thể thì hệ số biến dạng sẽ lớn hơn 1.

Bài 3.21 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB trong không gian.

a) Xác định hình chiếu cạnh A₃B₃ của đoạn thẳng đó.

b) Biết A₁B₁ = 10 cm và A₂B₂ = 6 cm, tính độ dài của A₃B₃.

Bài 3.21 trang 80 Chuyên đề Toán 11

Lời giải:

a) Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu cạnh A₃ của A và B₃ của B.

Để xác định A₃ ta làm như sau: Qua điểm A₂ vẽ đường thẳng vuông góc với Oz tại C và trên tia đối của tia Ox lấy điểm D sao cho OC = OD. Đường thẳng qua A₁ và vuông góc với Oz cắt đường thẳng qua D và vuông góc với Ox tại A₃. Tương tự xác định B₃. Nối A₃ và B₃ ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB.

Bài 3.21 trang 80 Chuyên đề Toán 11

b) Gọi E là giao điểm của A₁A₃ và B₁B₂.

Dễ dàng chứng minh tứ giác A₁A₂B₂E là hình chữ nhật.

Do đó: A₁E = A₂B₂.

Mà A₂B₂ = 6 cm nên A₁E = 6 cm.

Tam giác A₁B₁E vuông tại E nên A₁E² + B₁E² = A₁B₁² (định lí Pythagore)

Suy ra $B_{1} E = \sqrt{A_{1} {B_{1}}^{2} - A_{1} E^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$ (cm).

Mà B₁E = A₃B₃ (A₃B₃B₁E là hình chữ nhật)

Vậy A₃B₃ = 8 cm.

Bài 3.22 trang 81 Chuyên đề Toán 11: Sử dụng thước đo góc nếu cần thiết, hãy cho biết hình nào trong Hình 3.52 là hình chiếu trục đo vuông góc đều.

Bài 3.22 trang 81 Chuyên đề Toán 11

Lời giải:

Hình 3.52 thứ hai tính từ trái có các góc trục đo khác 120° nên không là hình chiếu trục đo vuông góc đều. Hình 3.52 thứ nhất và 3.52 thứ ba là hình chiếu trục đo vuông góc đều.

Bài 3.23 trang 81 Chuyên đề Toán 11: Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả vật thể nào trong thực tế? Cho biết hình nào là hình chiếu vuông góc, hình nào là hình chiếu trục đo của vật thể đó.

Bài 3.23 trang 81 Chuyên đề Toán 11

Lời giải:

Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả một chiếc xe buýt. Hình a, b, c là hình chiếu vuông góc; hình d là hình chiếu trục đo.

Bài 3.24 trang 81 Chuyên đề Toán 11: Một vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.54. Quy ước chiều dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, hãy lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể đó và tính thể tích của nó.