Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ Oxyz – Tọa độ điểm và vectơ
Hệ trục Oxyz gồm 3 trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc tại gốc $O$. Vectơ đơn vị: $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$.
Tính chất: $\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{k}=\vec{k}\cdot\vec{i}=0$; $|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1$.
| Đối tượng | Ký hiệu | Điều kiện đặc biệt |
|---|---|---|
| Vectơ | $\vec{u}=(x;y;z)$ | $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ |
| Điểm | $M(x;y;z)$ | $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)$ |
| Điểm trên $Ox$ | $M(x;0;0)$ | $y=z=0$ |
| Điểm trên $(Oxy)$ | $M(x;y;0)$ | $z=0$ |
2. Các công thức tính theo tọa độ
Cho $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$, $\vec{u}=(a_1;b_1;c_1)$, $\vec{v}=(a_2;b_2;c_2)$:
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Vectơ $\overrightarrow{AB}$ | $(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1)$ |
| Độ dài $|\vec{u}|$ | $\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}$ |
| Khoảng cách $AB$ | $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ |
| Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}$ | $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$ |
| Tổng $\vec{u}+\vec{v}$ | $(a_1+a_2;\ b_1+b_2;\ c_1+c_2)$ |
| $k\vec{u}$ | $(ka_1;\ kb_1;\ kc_1)$ |
| Góc $(\vec{u},\vec{v})$ | $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$ |
| Vuông góc | $\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$ |
| Cùng phương | $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ (tỉ lệ) |
3. Trung điểm, trọng tâm, hình chiếu, đối xứng
Cho $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$, $C(x_3;y_3;z_3)$:
| Điểm | Tọa độ |
|---|---|
| Trung điểm $M$ của $AB$ | $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\ \dfrac{y_1+y_2}{2};\ \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$ |
| Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ | $\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3};\ \dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ |
| Hình chiếu lên $(Oxy)$ | $M'(x;y;0)$ |
| Đối xứng qua $(Oxy)$ | $M'(x;y;-z)$ |
| Đối xứng qua $Oz$ | $M'(-x;-y;z)$ |
| Đối xứng qua $O$ | $M'(-x;-y;-z)$ |
• Hình chiếu lên mặt phẳng nào: tọa độ thứ 3 (vuông góc mặt phẳng đó) = 0.
• Đối xứng qua mặt phẳng nào: tọa độ vuông góc đó đổi dấu, hai tọa độ còn lại giữ nguyên.
• Đối xứng qua trục: hai tọa độ vuông góc với trục đổi dấu.
Tọa độ điểm – Vectơ – Phép toán
- Vectơ $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \Rightarrow \vec{u}=(x;y;z)$.
- $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$.
- Phép toán: cộng/trừ từng tọa độ; nhân số: nhân vào từng tọa độ.
- Cùng phương: các tọa độ tỉ lệ.
Sắp xếp: $\vec{a}=2\vec{i}+1\vec{j}+(-3)\vec{k}$. Vậy $\vec{a}=(2;1;-3)$.
$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ -1-2;\ 5-3)=(3;-3;2)$.
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}$.
Khoảng cách – Tích vô hướng – Góc
- Khoảng cách $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
- Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot\vec{v}=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$.
- Vuông góc: tích vô hướng $=0$.
- Góc: $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$.
$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+2\cdot1+(-2)\cdot2=2+2-4=0$.
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{u}\perp\vec{v}$, góc $=90°$.
Trung điểm – Trọng tâm – Hình chiếu – Đối xứng
- Trung điểm: trung bình cộng tọa độ.
- Trọng tâm tam giác: trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh.
- Hình chiếu: thành phần vuông góc với mặt phẳng → = 0.
- Đối xứng: đổi dấu thành phần vuông góc với mặt phẳng (hoặc trục).
$M=\left(\dfrac{1+3}{2};\ \dfrac{2+0}{2};\ \dfrac{3+(-1)}{2}\right)=(2;1;1)$.
Đối xứng qua $(Oxy)$: đổi dấu $z$ → $A'(1;-2;-3)$.
Đối xứng qua trục $Oz$: đổi dấu $x,y$ → $A''(-1;2;3)$.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 25Trong $Oxyz$, $\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$. Tọa độ $\vec{u}$ là: