Bài 12. Tích phân
1. Định nghĩa và công thức Newton-Leibniz
Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$, $F$ là nguyên hàm của $f$:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b$$
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Cận bằng nhau | $\int_a^a f\,dx=0$ |
| Đảo cận | $\int_a^b f\,dx=-\int_b^a f\,dx$ |
| Nhân hằng số | $\int_a^b kf\,dx=k\int_a^b f\,dx$ |
| Tuyến tính | $\int_a^b(f\pm g)\,dx=\int_a^b f\,dx\pm\int_a^b g\,dx$ |
| Cộng cận | $\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$ |
2. Tính tích phân một số hàm đặc biệt
| Tích phân | Kết quả | Ghi chú |
|---|---|---|
| $\int_a^b x^n\,dx$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$ | $n=-1$: dùng $\ln$ |
| $\int_a^b e^x\,dx$ | $e^b-e^a$ | |
| $\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx$ | $\ln e-\ln 1=1$ | Kết quả hay gặp |
| $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ | $1$ | $-\cos x\big|_0^{\pi/2}$ |
| $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $1$ | $\sin x\big|_0^{\pi/2}$ |
| $\int_0^\pi\sin x\,dx$ | $2$ | Hay dùng trong diện tích |
3. Ứng dụng tích phân vào thực tế
| Lĩnh vực | Bài toán | Công thức |
|---|---|---|
| Vật lý | Quãng đường từ $t_1$ đến $t_2$ | $S=\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,dt$ |
| Vật lý | Công của lực $F(x)$ từ $a$ đến $b$ | $A=\int_a^b F(x)\,dx$ |
| Kinh tế | Tổng chi phí từ $q_1$ đến $q_2$ sp | $\Delta C=\int_{q_1}^{q_2}C'(q)\,dq$ |
| Kinh tế | Thặng dư người tiêu dùng | $CS=\int_0^{q^*}[D(q)-p^*]\,dq$ |
| Nhân khẩu | Tổng tăng trưởng dân số trong $[t_1;t_2]$ | $\Delta N=\int_{t_1}^{t_2}r(t)\,dt$ |
Tính tích phân trực tiếp bằng Newton-Leibniz
- Biến đổi $f(x)$ về các hàm cơ bản có trong bảng nguyên hàm.
- Tìm nguyên hàm $F(x)$.
- Tính $F(b)-F(a)$.
$I=\left(\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x\right)\Bigg|_1^2=\left(\dfrac{8}{3}+4-6\right)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)=\dfrac{2}{3}+2-(-2)\cdot(-1)$
$=\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-2\right)=\dfrac{7}{3}+(-\dfrac{5}{3})+2\cdot\ldots$
Tính thẳng: $F(2)=8/3+4-6=8/3-2$; $F(1)=1/3+1-3=1/3-2$. $I=8/3-2-(1/3-2)=7/3$.
$I=(e^x+x^2)\Big|_0^1=(e+1)-(1+0)=e$.
Sử dụng tính chất tích phân
- Biết thành phần: Dùng $\int(af+bg)=a\int f+b\int g$.
- Cộng cận: $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$.
- Tìm tham số: Biểu diễn tích phân theo $a$ rồi giải phương trình.
$=4\times7-3\times2+2\times3=28-6+6=28$.
$(x^2+x)\Big|_0^a=a^2+a=10\Rightarrow a^2+a-10=0\Rightarrow a=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}\approx2{,}7$.
Hoặc chọn đề cho $a^2+a=12$: $\int_0^a(2x+1)=12$, với $a^2+a=12\Rightarrow a=3$.
Ứng dụng tích phân vào bài toán thực tế
- Nhận diện đại lượng cần tính là tích phân của hàm nào.
- Xác định cận $[a;b]$ từ ngữ cảnh (khoảng thời gian, sản lượng...).
- Tính tích phân xác định.
Tìm khi $v=0$: $t^2-2t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Trên $[0;2]$: $v<0$; trên $[2;3]$: $v>0$.
$S=\int_0^2|t^2-2t|\,dt+\int_2^3|t^2-2t|\,dt=\int_0^2(2t-t^2)\,dt+\int_2^3(t^2-2t)\,dt$
$=(t^2-t^3/3)\Big|_0^2+(t^3/3-t^2)\Big|_2^3=(4-8/3)+(9-9-8/3+4)=4/3+4/3=8/3$ m.
$\Delta C=\int_5^{10}(0{,}3q^2-2q+5)\,dq=(0{,}1q^3-q^2+5q)\Big|_5^{10}$.
$F(10)=100-100+50=50$; $F(5)=12{,}5-25+25=12{,}5$.
$\Delta C=50-12{,}5=37{,}5$ nghìn đồng.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 25Tính $\int_0^1 x^2\,dx$: