Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân
1. Diện tích hình phẳng
| Trường hợp | Công thức | Chú ý |
|---|---|---|
| Giữa $y=f(x)$ và $Ox$ | $S=\int_a^b|f(x)|dx$ | Phải dùng $|\cdot|$, không phải $f(x)$ |
| Giữa $y=f(x)$ và $y=g(x)$ | $S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$ | Tìm giao điểm $f=g$ để đổi dấu |
2. Thể tích khối tròn xoay
Quay quanh trục $Ox$:
$$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$$
Quay quanh trục $Oy$: Cần đổi biến, biểu thị $x$ theo $y$.
$$V=\pi\int_c^d[h(y)]^2dy$$ ($h(y)$ là hàm $x$ theo $y$).
| Hình | $f(x)$ | $[a;b]$ | $V$ |
|---|---|---|---|
| Hình trụ $r,h$ | $r$ | $[0;h]$ | $\pi r^2h$ |
| Hình nón $r,h$ | $\dfrac{r}{h}x$ | $[0;h]$ | $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$ |
| Hình cầu $R$ | $\sqrt{R^2-x^2}$ | $[-R;R]$ | $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ |
3. Thể tích vật thể tổng quát
Nếu thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại $x$ có diện tích $S(x)$:
$$V=\int_a^b S(x)dx$$
Đây là công thức tổng quát nhất. Hình tròn xoay là trường hợp riêng với $S(x)=\pi[f(x)]^2$.
• Hình vuông cạnh $a(x)$: $S=a^2(x)$.
• Hình tròn bán kính $r(x)$: $S=\pi r^2(x)$.
• Tam giác đều cạnh $a(x)$: $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2(x)$.
Diện tích hình phẳng
- Xác định các đường giới hạn và cận $[a;b]$.
- Tìm giao điểm (giải PT $f(x)=g(x)$ hoặc $f(x)=0$).
- Chia đoạn, phá trị tuyệt đối theo dấu của hàm.
- Tính từng đoạn rồi cộng lại.
$x^2-1=0\Rightarrow x=1$. Trên $[0;1]$: $f<0$; trên $[1;2]$: $f>0$.
$S=\int_0^1(1-x^2)dx+\int_1^2(x^2-1)dx=(x-x^3/3)\Big|_0^1+(x^3/3-x)\Big|_1^2=2/3+4/3=2$.
Giao điểm: $x^2=x+2\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=2$.
Trên $[-1;2]$: $x+2\geq x^2$. $S=\int_{-1}^2(-x^2+x+2)dx=(-x^3/3+x^2/2+2x)\Big|_{-1}^2=(−8/3+2+4)−(1/3+1/2−2)=10/3+7/6=9/2$.
Thể tích khối tròn xoay quanh Ox
- Xác định $f(x)$ và $[a;b]$.
- Tính $[f(x)]^2$ (biến đổi nếu cần).
- $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$.
- Lượng giác: dùng $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$ để tính $\int\sin^2x$.
$V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
$V=\pi\int_0^1[x^2-(x^2)^2]dx=\pi\int_0^1(x^2-x^4)dx=\pi\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1=\pi\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{2\pi}{15}$.
Thể tích vật thể và bài tham số
- Xác định $S(x)$ từ hình dạng thiết diện.
- $V=\int_a^b S(x)dx$.
- Với bài tham số: lập tích phân theo tham số, đặt phương trình tìm tham số.
Giao điểm: $x^2=mx\Rightarrow x=0$ hoặc $x=m$ (giả sử $m>0$).
$S=\int_0^m(mx-x^2)dx=\left(\dfrac{mx^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^m=\dfrac{m^3}{6}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow m^3=8\Rightarrow m=2$.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 25Diện tích hình phẳng giữa $y=f(x)$, $Ox$, $x=a$, $x=b$ được tính bằng: