Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
1. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.
Điều kiện cần và đủ
- Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì hàm số đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) < 0, \forall x \in K$ thì hàm số nghịch biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) = 0, \forall x \in K$ thì hàm số không đổi (hàm hằng) trên $K$.
2. Cực trị của hàm số
Định nghĩa
Điểm $x_0$ gọi là điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) < f(x_0), \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại.
Điểm $x_0$ gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) > f(x_0), \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực tiểu.
Điều kiện cần (Định lý Fermat)
Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_0$ và có đạo hàm tại đó thì $f'(x_0) = 0$.
Điều kiện đủ
Quy tắc 1 (Dấu hiệu 1):
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
- Nếu $f'(x)$ không đổi dấu qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị.
Quy tắc 2 (Dấu hiệu 2): Giả sử $f'(x_0) = 0$ và có đạo hàm cấp hai:
- Nếu $f''(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu $f''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
- Nếu $f''(x_0) = 0$ thì không kết luận được, phải dùng Quy tắc 1.
• Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta' = b^2 - 3ac > 0$.
• Hàm số không có cực trị $\Leftrightarrow$ $\Delta' \leq 0$.
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp
- Tìm tập xác định.
- Tính $f'(x)$. Tìm các điểm $x_i$ làm $f'(x)=0$ hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên xét dấu $f'(x)$.
- Kết luận khoảng đồng biến (dấu +), nghịch biến (dấu -).
Giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. $y' = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.
Bảng biến thiên: $y'$ dương trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; âm trên $(0; 2)$.
Kết luận: Đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 2)$.
Giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}\setminus\{1\}$.
$y' = \dfrac{2(x-1) - (2x-3)}{(x-1)^2} = \dfrac{-1}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x \neq 1$.
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
Chú ý: không được nói nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ vì hai khoảng không liên thông.
Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp
Sử dụng quy tắc 1 (Bảng biến thiên) hoặc quy tắc 2 ($f''$).
- Quy tắc 1: Tính $f'$, tìm nghiệm, lập bảng xét dấu. Đổi dấu $\rightarrow$ cực trị.
- Quy tắc 2: Giải $f'(x)=0$, thay nghiệm vào $f''(x)$.
Giải:
$y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. $y'=0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Bảng xét dấu: $y' > 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$; $y' < 0$ trên $(-1; 1)$.
- $y'$ đổi từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ $\Rightarrow$ Cực đại: $y(-1) = -1+3+2 = 4$.
- $y'$ đổi từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ $\Rightarrow$ Cực tiểu: $y(1) = 1-3+2 = 0$.
Giải:
TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
$y' = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+2)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}$. $y'=0 \Leftrightarrow x^2-2x-2=0 \Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt{3}$.
$x_1 = 1-\sqrt{3} \approx -0{,}73$: $y'$ đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại.
$x_2 = 1+\sqrt{3} \approx 2{,}73$: $y'$ đổi từ $-$ sang $+$ → cực tiểu.
Dạng 3: Đọc bảng biến thiên và đồ thị
Phương pháp
- Đơn điệu: Đồ thị đi lên (đồng biến), đi xuống (nghịch biến). $f'>0$ (đồng biến), $f'<0$ (nghịch biến).
- Cực trị: Điểm "đỉnh núi" (cực đại), "đáy thung lũng" (cực tiểu). Điểm làm $f'$ đổi dấu.
Nhìn vào bảng biến thiên, tìm điểm mà $y'$ đổi dấu từ dương sang âm.
Giải:
- Tại $x = -2$: $f'$ đổi từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại.
- Tại $x = 1$: $f'$ đổi từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
Dạng 4: Bài toán thực tế ứng dụng cực trị
Phương pháp
- Đặt ẩn phụ hợp lý cho yếu tố cần tối ưu hóa, xác định điều kiện ràng buộc.
- Biểu diễn hàm mục tiêu (diện tích, thể tích, lợi nhuận, chi phí...) theo ẩn phụ đó.
- Tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 trên miền xác định của bài toán.
- Kết luận giá trị cực trị và trả lời câu hỏi bài toán (kèm đơn vị).
Giải:
Gọi cạnh đáy là $a > 0$, chiều cao là $h > 0$. Thể tích: $a^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{32}{a^2}$.
Diện tích 5 mặt: $S = a^2 + 4ah = a^2 + \dfrac{128}{a}$.
$S' = 2a - \dfrac{128}{a^2} = 0 \Leftrightarrow a^3 = 64 \Leftrightarrow a = 4$.
$S''(4) = 2 + \dfrac{256}{64} = 6 > 0$ → cực tiểu. Vậy $a = 4$ cm, $S_{min} = 48$ cm².
Giải:
$P'(x) = -3x^2 + 12x + 15 = -3(x-5)(x+1)$. Trên $[0;8]$: $P'=0 \Leftrightarrow x=5$.
$P'$ đổi từ $+$ sang $-$ tại $x=5$ → cực đại. $P(5) = -125+150+75-20 = 80$ triệu đồng.
Vậy bán 5 sản phẩm/ngày đạt lợi nhuận lớn nhất là 80 triệu đồng.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 25Hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ đồng biến trên khoảng nào?