L
LỚP 12 LMS
Môn Toán 12

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Giá trị lớn nhất (GTLN)

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$. Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$ nếu:

  • $f(x) \leq M$ với mọi $x \in D$
  • Tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$

Ký hiệu: $M = \max_{x \in D} f(x)$ hay $M = \max_D f$.

Giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $D$ nếu:

  • $f(x) \geq m$ với mọi $x \in D$
  • Tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$

Ký hiệu: $m = \min_{x \in D} f(x)$ hay $m = \min_D f$.

⚠️ Chú ý 1: Không phải hàm số nào cũng có GTLN hoặc GTNN. Ví dụ $y = x$ không có GTLN lẫn GTNN trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có GTLN lẫn GTNN trên $(0; +\infty)$.
💡 Chú ý 2 (Định lý Weierstrass): Nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn đóng $[a; b]$ thì $f$ luôn có cả GTLN và GTNN trên $[a; b]$. Điều này không đảm bảo trên khoảng mở hoặc nửa khoảng.

2. Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $[a; b]$

Quy trình 3 bước

  1. Tính $f'(x)$. Giải $f'(x) = 0$ trong khoảng $(a; b)$, tìm các nghiệm $x_1, x_2, \ldots$
  2. Tính giá trị $f(a),\; f(x_1),\; f(x_2),\;\ldots,\; f(b)$.
  3. So sánh: GTLN = giá trị lớn nhất; GTNN = giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó.
📝 Chú ý 3: Phải tính giá trị tại cả hai đầu mút $f(a)$ và $f(b)$. GTLN hoặc GTNN có thể đạt tại đầu mút dù đó không phải điểm cực trị.
⚠️ Chú ý 4: Nếu $f'(x)$ không đổi dấu trên $(a; b)$ (hàm đơn điệu thuần), thì GTLN và GTNN đạt trực tiếp tại hai đầu mút: đầu mút bên cao hơn cho GTLN, đầu mút bên thấp hơn cho GTNN.

3. Tìm GTLN, GTNN trên khoảng, nửa khoảng

Trên khoảng mở $(a; b)$ hoặc nửa khoảng, không đảm bảo hàm số có GTLN/GTNN. Cách xác định:

  • Lập bảng biến thiên đầy đủ trên toàn khoảng.
  • Xét giới hạn tại các đầu mút mở (kể cả $\pm \infty$).
  • Nếu hàm có duy nhất một cực đại và giá trị tại cực đại lớn hơn giới hạn ở cả hai đầu → đó là GTLN.
  • Tương tự với cực tiểu duy nhất → GTNN.
💡 Chú ý 5 – Phân biệt cực trị và GTLN/GTNN:
• Cực đại là cực trị cục bộ (lớn hơn các giá trị lân cận).
• GTLN là lớn nhất toàn cục trên toàn miền xét.
Vì vậy: giá trị cực đại chưa chắc là GTLN; GTLN có thể đạt tại đầu mút (không phải điểm cực trị).

4. Ứng dụng vào bài toán tối ưu hóa thực tế

Các bước giải

  1. Xác định đại lượng: Đọc đề, tìm đại lượng cần tối ưu (diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận...).
  2. Đặt ẩn và điều kiện: Chọn ẩn $x$, xác định miền $D$ từ ràng buộc thực tế.
  3. Lập hàm mục tiêu: Biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo $x$: $y = f(x)$.
  4. Tìm GTLN/GTNN của $f$ trên $D$.
  5. Kết luận kèm đơn vị, kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện.
⚠️ Chú ý 6: Trong bài toán thực tế, miền $D$ thường là đoạn đóng $[a; b]$ (ràng buộc vật lý), nên luôn phải kiểm tra cả hai đầu mút. Đôi khi đầu mút không có ý nghĩa thực tế (ví dụ chiều dài $= 0$) nhưng vẫn cần tính để so sánh.
📝 Chú ý 7 – Các ứng dụng điển hình:
• Tối ưu diện tích, chu vi hình phẳng với điều kiện cho trước.
• Tối ưu thể tích, diện tích bề mặt hình không gian (hộp, trụ, nón...).
• Tối ưu chi phí, lợi nhuận trong bài toán kinh tế.
• Tối ưu quãng đường, thời gian, vận tốc trong bài toán vật lý.

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $[a; b]$

Phương pháp

  1. Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$ trong $(a; b)$, được nghiệm $x_1, x_2, \ldots$
  2. Tính $f(a), f(x_1), \ldots, f(b)$.
  3. GTLN = max; GTNN = min trong các giá trị đó.
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của $f(x) = x^3 - 3x + 2$ trên $[-2; 2]$.

Giải:

$f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x = \pm1 \in (-2; 2)$.

Tính: $f(-2)=-8+6+2=0$; $f(-1)=-1+3+2=4$; $f(1)=1-3+2=0$; $f(2)=8-6+2=4$.

Kết luận: $\max_{[-2;2]} f = 4$ (tại $x=-1$ và $x=2$); $\min_{[-2;2]} f = 0$ (tại $x=-2$ và $x=1$).

Ví dụ 2: Tìm GTNN của $g(x) = x^2 - 4x + 5$ trên $[0; 5]$.

Giải:

$g'(x) = 2x-4 = 0 \Leftrightarrow x=2 \in (0;5)$.

$g(0)=5$; $g(2)=4-8+5=1$; $g(5)=25-20+5=10$.

Kết luận: $\min_{[0;5]} g = 1$ (tại $x=2$); $\max_{[0;5]} g = 10$ (tại $x=5$).

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN trên khoảng hoặc nửa khoảng

Phương pháp

  1. Lập bảng biến thiên đầy đủ trên khoảng.
  2. Xét giới hạn tại các đầu mút.
  3. Nếu có cực trị duy nhất và vượt trội so với hai đầu: cực đại duy nhất = GTLN; cực tiểu duy nhất = GTNN.
Ví dụ 1: Tìm GTLN của $y = \dfrac{x}{x^2+1}$ trên $[0; +\infty)$.

Giải:

$y'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0 \Leftrightarrow x=1$. $y'>0$ trên $(0;1)$; $y'<0$ trên $(1;+\infty)$ → cực đại tại $x=1$.

$y(0)=0$; $y(1)=\dfrac{1}{2}$; $\lim_{x\to+\infty}y=0$. Cực đại duy nhất lớn hơn hai đầu.

Kết luận: $\max_{[0;+\infty)} y = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Tìm GTNN của $h(x) = x + \dfrac{4}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

Giải:

$h'(x) = 1-\dfrac{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x=2$. $h'<0$ trên $(0;2)$; $h'>0$ trên $(2;+\infty)$ → cực tiểu tại $x=2$.

$\lim_{x\to0^+}h=+\infty$; $\lim_{x\to+\infty}h=+\infty$. Cực tiểu duy nhất là nhỏ nhất.

Kết luận: $\min_{(0;+\infty)} h = h(2) = 2+2 = 4$.

Dạng 3: Bài toán thực tế – Tối ưu hóa

Phương pháp

  1. Đặt ẩn $x$, xác định điều kiện và miền $D$.
  2. Lập hàm mục tiêu $f(x)$ biểu diễn đại lượng cần tối ưu.
  3. Tìm GTLN hoặc GTNN của $f$ trên $D$.
  4. Kết luận kèm đơn vị, kiểm tra thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ 1: Hình chữ nhật có chu vi $40$ cm. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Giải:

Gọi chiều dài là $x$ (cm, $0 < x < 20$). Chiều rộng: $20-x$.

Diện tích: $S(x) = x(20-x) = 20x-x^2$. $S'(x)=20-2x=0 \Leftrightarrow x=10$.

$S''=-2<0$ → cực đại (duy nhất) = GTLN. $S(10)=100$ cm².

Kết luận: Hình vuông cạnh $10$ cm có diện tích lớn nhất là $100$ cm².

Ví dụ 2: Người ta làm hộp hình hộp chữ nhật không nắp, đáy vuông cạnh $x$, diện tích tôn là $75$ cm². Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.

Giải:

Diện tích 5 mặt: $x^2 + 4xh = 75 \Rightarrow h = \dfrac{75-x^2}{4x}$.

$V(x) = x^2 h = \dfrac{x(75-x^2)}{4}$. $V'=\dfrac{75-3x^2}{4}=0 \Leftrightarrow x=5$.

$h = \dfrac{75-25}{20}=\dfrac{50}{20}=2{,}5$ cm. $V_{max} = \dfrac{5(75-25)}{4} = \dfrac{250}{4} = 62{,}5$ cm³.

Kết luận: Đáy cạnh $5$ cm, cao $2{,}5$ cm, thể tích lớn nhất là $62{,}5$ cm³.

Luyện tập trắc nghiệm

1 / 25
Câu 1
Trắc nghiệm đơnTrung bình

GTLN của hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ trên đoạn $[-2; 2]$ là:

A
$4$
B
$2$
C
$0$
D
$-2$
Bài trướcBài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm sốBài tiếp theoBài 3. Đường tiệm cận