Bài 14. Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương
Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là vectơ pháp tuyến (VPT) của $(\alpha)$.
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VPT $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình:
$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
Khai triển: $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$).
Các trường hợp đặc biệt:
| Đặc điểm mặt phẳng | Dạng phương trình |
|---|---|
| Đi qua gốc tọa độ $O$ | $Ax + By + Cz = 0$ ($D=0$) |
| Song song hoặc chứa trục $Ox$ | $By + Cz + D = 0$ ($A=0$) |
| Song song hoặc trùng mp $(Oxy)$ | $Cz + D = 0$ ($A=B=0$) |
3. Một số công thức liên quan
① Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Nếu $(\alpha)$ cắt $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ thì phương trình là:
$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$$
② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mp $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là:
$$d(M_0, P) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Viết phương trình mặt phẳng
- Xác định một điểm thuộc mặt phẳng.
- Xác định 1 vectơ pháp tuyến (trực tiếp hoặc qua tích có hướng).
- Dùng công thức $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
Trung điểm $I(1; 0; 2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2; -2; 2) = -2(1; 1; -1)$. Chọn VPT $\vec{n} = (1; 1; -1)$.
PT: $1(x-1) + 1(y-0) - 1(z-2) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0$.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Dựa vào hai VPT $\vec{n}_1(A_1; B_1; C_1)$ và $\vec{n}_2(A_2; B_2; C_2)$:
- Song song: $\vec{n}_1 = k\vec{n}_2$ và $D_1 \neq kD_2$.
- Cắt nhau: $\vec{n}_1$ không cùng phương $\vec{n}_2$.
- Vuông góc: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 25Tính khoảng cách từ điểm $M(1; 2; -3)$ đến mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$.