L
LỚP 12 LMS
Môn Toán 12

Bài 16. Công thức tính góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho $d_1$ có VCP $\vec{u}_1$ và $d_2$ có VCP $\vec{u}_2$. Góc $\alpha$ giữa $d_1, d_2$ ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$) được tính bởi:

$$\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$$

Lưu ý: Chúng ta lấy giá trị tuyệt đối để đảm bảo góc luôn nhọn hoặc vuông.

2. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho mp $(P_1)$ có VPT $\vec{n}_1$ và mp $(P_2)$ có VPT $\vec{n}_2$. Góc $\varphi$ giữa $(P_1), (P_2)$ ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$) được tính bởi:

$$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Nếu $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$ thì hai mặt phẳng vuông góc.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ có VCP $\vec{u}$ và mp $(P)$ có VPT $\vec{n}$. Góc $\theta$ giữa $d$ và $(P)$ được tính bởi hàm SIN:

$$\sin \theta = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$$

Cảnh báo: Rất nhiều sinh viên nhầm lẫn dùng hàm cos cho trường hợp này. Hãy nhớ: cùng loại (đ-đ, m-m) dùng cos, khác loại (đ-m) dùng sin.

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

  1. Xác định VCP $\vec{u}$ của đường thẳng.
  2. Xác định VPT $\vec{n}$ của mặt phẳng.
  3. Dùng công thức $\sin \theta$.
Tính góc giữa đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z-1}{2}$ và mặt phẳng $(P): x + y + 1 = 0$.
$\vec{u} = (1, 1, 2), \vec{n} = (1, 1, 0)$. $\sin \theta = \dfrac{|1+1+0|}{\sqrt{6}\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{12}} = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Luyện tập trắc nghiệm

1 / 25
Câu 1
Trắc nghiệm đơnTrung bình

Góc giữa hai trục $Ox$ và $Oy$ bằng:

A
$90^\circ$
B
$0^\circ$
C
$45^\circ$
D
$180^\circ$
Bài trướcBài 15. Phương trình đường thẳngBài tiếp theoBài 17. Phương trình mặt cầu