Bài 18. Xác suất có điều kiện
1. Khái niệm xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của $A$ đối với $B$, ký hiệu là $P(A|B)$.
Ý nghĩa: Chúng ta đang thu hẹp không gian mẫu từ $\Omega$ xuống chỉ còn các kết quả thuộc $B$.
2. Công thức nhân xác suất
Từ định nghĩa, ta có quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố bất kỳ:
$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$
Hoặc nếu tính theo $A$ trước: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$
3. Sơ đồ hình cây
Sơ đồ hình cây là công cụ trực quan mạnh mẽ để giải các bài toán xác suất có nhiều giai đoạn.
- Quy tắc nhân: Xác suất của một biến cố tương ứng với một đường đi từ gốc đến ngọn bằng tích các xác suất ghi trên các nhánh của đường đi đó.
- Quy tắc cộng: Nếu một biến cố gồm nhiều kết cục (nhiều ngọn), xác suất của nó bằng tổng các xác suất của các kết cục đó.
Ví dụ: Lấy bi từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2, sau đó lấy bi từ hộp 2.
Tính xác suất có điều kiện bằng công thức
- Xác định biến cố điều kiện $B$ và tính $P(B)$.
- Xác định biến cố giao $A \cap B$ và tính $P(A \cap B)$.
- Áp dụng công thức $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$.
Gọi $B$: "Có ít nhất một con mặt 5 chấm". Số kết quả của $B$ là $11$ trường hợp (gồm $(5,1 \dots 6)$ và $(1 \dots 6, 5)$ trừ $(5,5)$ trùng). $P(B) = 11/36$.
Gọi $A$: "Tổng bằng 8". $A \cap B = \{(5,3), (3,5)\}$. Có 2 trường hợp. $P(A \cap B) = 2/36$.
Vậy $P(A|B) = \dfrac{2/36}{11/36} = 2/11$.
Ta có $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.6 - 0.8 = 0.3$.
$P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0.3}{0.5} = 0.6$.
Gọi $N_1$: "Người đầu là nữ", $N_2$: "Người sau là nữ".
Sau khi chọn 1 nữ, tổ còn 9 người (6 nam, 3 nữ). Xác suất người tiếp theo là nữ là $P(N_2|N_1) = 3/9 = 1/3$.
Sử dụng sơ đồ hình cây
- Xây dựng các nhánh tương ứng với từng giai đoạn.
- Ghi xác suất lên từng nhánh. Nhánh sau luôn là xác suất có điều kiện.
- Tính xác suất tại các ngọn bằng cách nhân dọc theo nhánh.
Giai đoạn 1: X (5/8) hoặc Đ (3/8).
Giai đoạn 2:
- Nếu lần 1 X: Nhánh X (4/7) hoặc Đ (3/7).
- Nếu lần 1 Đ: Nhánh X (5/7) hoặc Đ (2/7).
$P(X_2) = P(X_1 \cap X_2) + P(\text{Đ}_1 \cap X_2) = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{20 + 15}{56} = \dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8}$.
Trúng 1 lần gồm 2 trường hợp: (Trúng 1, Trượt 2) hoặc (Trượt 1, Trúng 2).
$P = 0.7 \cdot (1 - 0.8) + (1 - 0.7) \cdot 0.5 = 0.7 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot 0.5 = 0.14 + 0.15 = 0.29$.
Nhánh 1: Chọn Túi 1 (1/2) $\to$ Kẹo dâu (4/6). Tích = $1/2 \cdot 2/3 = 1/3$.
Nhánh 2: Chọn Túi 2 (1/2) $\to$ Kẹo dâu (3/8). Tích = $1/2 \cdot 3/8 = 3/16$.
Xác suất chung: $1/3 + 3/16 = 25/48$.
Xác suất trong các phép thử lặp và lấy mẫu
Sử dụng công thức nhân xác suất $P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$ cho các phép lấy mẫu không hoàn lại hoặc các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau.
$P(A_1) = 4/52 = 1/13$.
Sau lá thứ nhất là Át, còn 51 lá và 3 lá Át. $P(A_2|A_1) = 3/51 = 1/17$.
$P = 1/13 \cdot 1/17 = 1/221$.
$P(T_1 \cap T_2) = P(T_1) \cdot P(T_2|T_1) = (1 - 0.1) \cdot (1 - 0.05) = 0.9 \cdot 0.95 = 0.855$.
$P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \cdot P(D_2|D_1) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56$.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 25Cho $P(A|B) = 0.6$ và $P(B) = 0.3$. Tính $P(A \cap B)$.