Môn Toán 12
Bài 17. Phương trình mặt cầu
1. Các dạng phương trình mặt cầu
① Dạng chính tắc (hoặc dạng chuẩn):
Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ có phương trình:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$
② Dạng tổng quát:
$$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$$
Điều kiện để đây là phương trình mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó tâm $I(a, b, c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu $S(I, R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $d = d(I, P)$:
- $d > R$: Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
- $d = R$: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại một điểm (điểm đó là hình chiếu của $I$ lên $(P)$).
- $d < R$: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu $S(I, R)$ và đường thẳng $\Delta$. Gọi $h = d(I, \Delta)$:
- $h > R$: Không có điểm chung.
- $h = R$: Tiếp xúc (đường thẳng là tiếp tuyến).
- $h < R$: Cắt tại hai điểm phân biệt. Đoạn dây cung có độ dài $L = 2\sqrt{R^2 - h^2}$.
Viết phương trình mặt cầu
Cần tìm Tâm và Bán kính:
- Tâm là trung điểm đường kính (nếu biết đường kính).
- Bán kính là khoảng cách từ tâm đến tiếp diện (nếu tiếp xúc).
- Bán kính là khoảng cách từ tâm đến các điểm trên mặt cầu.
Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(1; 2; 3), B(3; 0; 1)$.
Tâm $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(2; 1; 2)$.
Vectơ $\overrightarrow{IA} = (-1; 1; 1) \Rightarrow R^2 = 3$.
PT: $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 3$.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 25Câu 1
Trắc nghiệm đơnTrung bình
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $(x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 4$.
A
$I(1; 0; -2), R=2$
B
$I(1; 0; 2), R=2$
C
$I(-1; 0; 2), R=4$
D
$I(1; 0; -2), R=4$