L
LỚP 12 LMS
Môn Toán 12

Bài 15. Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$ được gọi là vectơ chỉ phương (VCP) của $\Delta$.

Ghi chú: Một đường thẳng có vô số VCP, chúng đều cùng phương với nhau. Nếu biết một điểm và một VCP, đường thẳng hoàn toàn xác định.

2. Các dạng phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VCP $\vec{u} = (a; b; c)$.

① Phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$$

② Phương trình chính tắc:

Nếu $abc \neq 0$, phương trình được viết dưới dạng:

$$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$$

3. Vị trí tương đối

① Giữa hai đường thẳng:

Dựa vào VCP $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ và các điểm thuộc chúng. Có 4 trường hợp: Song song, trùng nhau, cắt nhau, hoặc chéo nhau.

② Giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Xét phương trình tham số của đường thẳng thay vào phương trình mặt phẳng:

  • Vô nghiệm: $\Delta \parallel (P)$.
  • Nghiệm duy nhất: $\Delta$ cắt $(P)$.
  • Vô số nghiệm: $\Delta \subset (P)$.

Viết phương trình đường thẳng

  1. Xác định một điểm đi qua.
  2. Xác định 1 vectơ chỉ phương (trực tiếp, nối 2 điểm, hoặc tích có hướng của 2 VPT mặt phẳng).
  3. Lập phương trình tham số hoặc chính tắc.
Viết PT tham số đường thẳng đi qua $A(1; 2; 3)$ và $B(2; 4; 2)$.

VCP $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (1; 2; -1)$.

PT tham số: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Luyện tập trắc nghiệm

1 / 25
Câu 1
Trắc nghiệm đơnTrung bình

Vectơ nào sau đây là VCP của đường thẳng $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z}{3}$?

A
$(2; -1; 3)$
B
$(1; -1; 0)$
C
$(2; 1; 3)$
D
$(-2; -1; -3)$
Bài trướcBài 14. Phương trình mặt phẳngBài tiếp theoBài 16. Công thức tính góc