Bài 3. Đường tiệm cận
1. Đường tiệm cận ngang (TCN)
Định nghĩa
Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$, hoặc
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$
• Nếu $\lim_{x\to+\infty}f = \lim_{x\to-\infty}f = y_0$ → 1 TCN: $y = y_0$.
• Nếu $\lim_{x\to+\infty}f = y_1 \neq y_2 = \lim_{x\to-\infty}f$ → 2 TCN: $y=y_1$ và $y=y_2$.
• Nếu cả hai giới hạn đều $= \infty$ → không có TCN.
• Bậc tử < bậc mẫu $\Rightarrow$ TCN là $y = 0$.
• Bậc tử = bậc mẫu $\Rightarrow$ TCN là $y = \dfrac{a_n}{b_n}$.
• Bậc tử > bậc mẫu $\Rightarrow$ không có TCN (có thể có tiệm cận xiên).
2. Đường tiệm cận đứng (TCĐ)
Định nghĩa
Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
- $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$
- $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$
Cách tìm TCĐ cho hàm phân thức
- Rút gọn phân thức (nếu có nhân tử chung).
- Tìm nghiệm $x_0$ của mẫu sau khi rút gọn: $Q(x_0) = 0$.
- Kiểm tra $P(x_0) \neq 0$ → $x = x_0$ là TCĐ.
• TCĐ: $x = -\dfrac{d}{c}$. TCN: $y = \dfrac{a}{c}$.
• Đồ thị luôn có đúng 1 TCĐ và 1 TCN (nếu $ad \neq bc$).
3. Đường tiệm cận xiên (TCX)
Định nghĩa
Đường thẳng $y = kx + b$ ($k \neq 0$) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:
- $\lim_{x \to +\infty}[f(x) - (kx+b)] = 0$, hoặc
- $\lim_{x \to -\infty}[f(x) - (kx+b)] = 0$
Điều kiện xuất hiện TCX
Hàm phân thức $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc tử = bậc mẫu + 1.
Với $y = \dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$, thực hiện chia đa thức:
$$y = \dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e} = \underbrace{(kx+n)}_{\text{thương}} + \underbrace{\dfrac{r}{dx+e}}_{\to 0 \text{ khi } x\to\infty}$$
Khi $x \to \pm\infty$: phần dư $\to 0$, nên đồ thị tiệm cận về $y = kx + n$.
Hệ số: $k = \dfrac{a}{d}$ và $n = \dfrac{bd - ae}{d^2}$.
• TCN ($y = c$, hằng số): xuất hiện khi bậc tử ≤ bậc mẫu.
• TCX ($y = kx+n$, $k\neq0$): xuất hiện khi bậc tử = bậc mẫu + 1.
• TCĐ ($x = x_0$): xuất hiện khi mẫu = 0, tử ≠ 0.
4. Bảng tổng hợp các dạng hàm
| Dạng hàm | TCĐ | TCN | TCX |
|---|---|---|---|
| $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ | $x=-\dfrac{d}{c}$ | $y=\dfrac{a}{c}$ | Không có |
| $y=\dfrac{ax+b}{cx^2+dx+e}$ | Nghiệm mẫu (tử $\neq0$) | $y=0$ | Không có |
| $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ | $x=-\dfrac{e}{d}$ | Không có | $y=\dfrac{a}{d}x+\dfrac{bd-ae}{d^2}$ |
| $y=\dfrac{\sqrt{x^2+a}}{bx+c}$ | $x=-\dfrac{c}{b}$ | 2 TCN (khác dấu) | Không có |
Dạng 1: Tìm tiệm cận ngang
Phương pháp
- Tính $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ và $\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
- Mỗi giá trị hữu hạn là một TCN.
- Với phân thức: so sánh bậc tử và mẫu để xét nhanh.
Giải:
$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+1}{x-3} = \dfrac{2}{1} = 2$. TCN: $y = 2$.
Giải:
$\lim_{x\to+\infty}y = 1$; $\lim_{x\to-\infty}y = -1$ (vì $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ khi $x<0$).
2 TCN: $y=1$ và $y=-1$.
Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng
Phương pháp
- Rút gọn phân thức.
- Tìm nghiệm của mẫu sau rút gọn: $Q(x_0)=0$.
- Tử $P(x_0)\neq0$ → $x=x_0$ là TCĐ.
Giải:
Mẫu: $(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=\pm2$. Tử $\neq0$ tại cả hai.
2 TCĐ: $x=2$ và $x=-2$.
Giải:
Rút gọn: $y=\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x-1}{x-3}$ ($x\neq2$).
Mẫu sau rút gọn $=0$ tại $x=3$ → 1 TCĐ: $x=3$. Điểm $x=2$ là lỗ hổng.
Dạng 3: Đếm tổng số đường tiệm cận
Phương pháp
- Tìm tất cả TCĐ và TCN như trên.
- Nếu bậc tử = bậc mẫu + 1: tìm thêm TCX (bằng chia đa thức).
- Tổng = số TCĐ + số TCN + số TCX.
TCĐ: $x=\pm2$ (2 đường). TCN: $y=0$ (1 đường). Tổng: 3.
Bậc tử (2) = bậc mẫu (1) + 1 → có TCX. Chia: $y=x+1+\dfrac{-1}{x+2}$. TCX: $y=x+1$ (1 đường). TCĐ: $x=-2$ (1 đường). Không có TCN. Tổng: 2.
Dạng 4: Tìm tiệm cận xiên (hàm bậc 2/bậc 1)
Phương pháp
- Kiểm tra điều kiện: bậc tử = bậc mẫu + 1.
- Chia đa thức tử cho mẫu, lấy phần thương $Q(x) = kx+n$.
- TCX: $y = kx + n$ (phần thương).
- TCĐ: nghiệm mẫu (nếu tử $\neq0$ tại đó).
- Không có TCN (bậc tử > bậc mẫu).
Giải:
Chia $x^2+3x+1$ cho $x+2$:
$x^2+3x+1 = (x+2)\cdot x + (x+1) = (x+2)\cdot x + (x+2) - 1 = (x+2)(x+1) - 1$.
Vậy: $y = x+1 + \dfrac{-1}{x+2}$.
$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-1}{x+2}=0$ → TCX: $y = x+1$. TCĐ: $x=-2$.
Giải:
Chia $2x^2-x+3$ cho $x-1$:
$2x^2-x+3 = 2x(x-1) + (x+3) = 2x(x-1) + (x-1) + 4 = (x-1)(2x+1) + 4$.
$y = 2x+1+\dfrac{4}{x-1}$.
- TCX: $y = 2x+1$.
- TCĐ: $x=1$ (mẫu $=0$, tử tại $x=1$: $4\neq0$).
- Không có TCN.
Tổng: 2 tiệm cận.
Luyện tập trắc nghiệm
1 / 31Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x-1}{x+2}$ là: