L
LỚP 12 LMS
Môn Toán 12

Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Sơ đồ khảo sát hàm số (5 bước)

  1. TXĐ: Tìm tập xác định.
  2. Sự biến thiên: Tính $y'$, giải $y'=0$, xét dấu $y'$, tìm cực trị, tính giới hạn/tiệm cận, lập bảng biến thiên.
  3. Điểm đặc biệt: Giao $Oy$ (cho $x=0$), giao $Ox$ (giải $y=0$).
  4. Vẽ đồ thị: Vẽ tiệm cận (nét đứt), đánh dấu cực trị, vẽ đường cong trơn theo bảng biến thiên.
  5. Kết luận: Ghi nhận tính chất (đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận).
💡 Chú ý 1: Đồ thị phải trơn, không gấp khúc. Chiều đường cong phải khớp với dấu $y'$ trong bảng biến thiên.

2. Hàm bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Tính chất

  • TXĐ: $\mathbb{R}$
  • $y'$: $3ax^2+2bx+c$ (bậc 2)
  • Cực trị: Nếu $\Delta'>0$: có 2 cực trị; $\Delta'\leq0$: không có cực trị
  • Giới hạn: $a>0$: $-\infty\to+\infty$; $a<0$: $+\infty\to-\infty$
  • Đồ thị: Dạng chữ S, đối xứng qua điểm uốn
CĐCTxy

Hình 1: $a>0$, có 2 cực trị

⚠️ Chú ý 2 – Nhận dạng nhanh từ đồ thị:
• Nhánh $x\to+\infty$ đi lên → $a>0$; đi xuống → $a<0$.
• Có 1 đỉnh CĐ + 1 đáy CT → hàm bậc 3 có 2 cực trị.
• Không có CĐ, CT → $\Delta'\leq0$, hàm đơn điệu.

3. Hàm bậc bốn trùng phương: $y = ax^4 + bx^2 + c$

Tính chất

  • TXĐ: $\mathbb{R}$; Hàm chẵn → đối xứng qua $Oy$
  • $y'$: $4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)$
  • Cực trị tại $x=0$ luôn xảy ra
  • $ab<0$: có thêm $x=\pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}$ → 3 cực trị
  • $ab\geq0$: chỉ 1 cực trị tại $x=0$
CT(0;c)xy

Hình 2: $a>0,ab>0$ – dạng chữ U

📝 Chú ý 3: Khi $a>0, ab<0$ đồ thị có dạng chữ W (3 cực trị). Khi $a<0, ab<0$ có dạng chữ M.

4. Hàm phân thức bậc 1/bậc 1: $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$

Tính chất nhanh

  • TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{-d/c\}$
  • $y'$: $\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ — không đổi dấu → không có cực trị
  • TCĐ: $x=-d/c$; TCN: $y=a/c$
  • Tâm đối xứng: $I(-d/c;\ a/c)$
  • $ad-bc>0$: đồng biến; $ad-bc<0$: nghịch biến (trên mỗi nhánh)
x=2y=1xy

Hình 3: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, 2 nhánh hyperbola

⚠️ Chú ý 4 – Nhận dạng từ đồ thị:
• Có 2 nhánh, không cắt nhau → phân thức bậc 1/bậc 1.
• Tiệm cận đứng phải → $-d/c>0$ → $c,d$ trái dấu.
• Tiệm cận ngang trên $Ox$ → $a/c>0$ → $a,c$ cùng dấu.

5. Ứng dụng: Số nghiệm phương trình $f(x) = m$

Phương pháp

Số nghiệm của $f(x)=m$ bằng số giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ với đường thẳng $y=m$ (nằm ngang).

  • Nếu $m$ nằm giữa cực tiểu và cực đại → 3 nghiệm (hàm bậc 3 có 2 cực trị).
  • Nếu $m=y_{CT}$ hoặc $m=y_{CĐ}$ → 2 nghiệm.
  • Nếu $m>y_{CĐ}$ hoặc $m
💡 Chú ý 5: Đây là dạng bài thường gặp trong đề thi. Bước then chốt là tìm đúng $y_{CĐ}$ và $y_{CT}$ bằng cách thay $x$ vào hàm số.

Dạng 1: Khảo sát hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$

  1. TXĐ: $\mathbb{R}$.
  2. $y'=3ax^2+2bx+c$; giải $y'=0$, lập bảng biến thiên.
  3. Tìm $y_{CĐ}$, $y_{CT}$ bằng cách thay $x$ vào $y$.
  4. Giao $Oy$: $(0;d)$; giao $Ox$: giải $y=0$.
  5. Vẽ đồ thị dạng chữ S.
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.

1. TXĐ: $\mathbb{R}$.

2. Biến thiên: $y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x=\pm1$.

$\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$; $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.

$x$$-\infty$$-1$$1$$+\infty$
$y'$+0−0+
$y$$-\infty$↗4↘0↗$+\infty$

CĐ tại $(-1;4)$; CT tại $(1;0)$.

3. Điểm đặc biệt: Giao $Oy$: $(0;2)$. Giao $Ox$: $y=0 \Rightarrow (x-1)^2(x+2)=0 \Rightarrow x=1$ hoặc $x=-2$.

(-1;4)(1;0)(0;2)(-2;0)xy
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số $y = -x^3 + 3x^2$.

1. TXĐ: $\mathbb{R}$.

2. Biến thiên: $y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.

$\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$; $\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ (vì $a=-1<0$).

$x$$-\infty$$0$$2$$+\infty$
$y'$−0+0−
$y$$+\infty$↘0↗4↘$-\infty$

CT tại $(0;0)$; CĐ tại $(2;4)$. Giao $Ox$: $x=0$ hoặc $x=3$.

Dạng 2: Khảo sát hàm bậc bốn trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$

  1. TXĐ: $\mathbb{R}$; hàm chẵn → xét $x\geq0$ rồi đối xứng.
  2. $y'=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)$.
  3. Xét dấu tích $ab$: $ab<0$ → 3 cực trị; $ab\geq0$ → 1 cực trị.
  4. Vẽ đồ thị chữ U (nếu $a>0$) hoặc chữ M, W tương ứng.
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$.

1. TXĐ: $\mathbb{R}$; hàm chẵn, đối xứng $Oy$.

2. Biến thiên: $y'=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x\in\{-1;0;1\}$.

$ab=(1)(-2)=-2<0$ → có 3 cực trị. $a=1>0$ → $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$.

$y(-1)=0$ (CT); $y(0)=1$ (CĐ); $y(1)=0$ (CT). Đồ thị dạng chữ W.

(-1;0)(1;0)(0;1)x

Dạng 3: Khảo sát hàm phân thức $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$

  1. TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{-d/c\}$.
  2. $y'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$: không có nghiệm → không có cực trị.
  3. TCĐ: $x=-d/c$; TCN: $y=a/c$; tâm đối xứng $I(-d/c;\ a/c)$.
  4. Giao trục tọa độ, vẽ 2 nhánh hyperbola.
Ví dụ: Khảo sát hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$.

1. TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

2. Biến thiên: $y'=\frac{2\cdot(-1)-1\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}<0$, $\forall x\neq1$. Hàm nghịch biến trên mỗi nhánh.

Tiệm cận: TCĐ: $x=1$; TCN: $y=2$. Tâm $I(1;2)$.

3. Giao trục: $Oy$: $(0;-1)$; $Ox$: $-1/2;0$.

(0;-1)x=1y=2

Dạng 4: Đọc đồ thị – Tìm số nghiệm phương trình $f(x)=m$

Số nghiệm của $f(x)=m$ = số giao điểm của $y=f(x)$ và đường thẳng $y=m$.

  1. Xác định $y_{CĐ}$ và $y_{CT}$ từ bảng biến thiên hoặc đồ thị.
  2. So sánh $m$ với $y_{CĐ}$, $y_{CT}$.
  3. Kết luận số nghiệm.
Ví dụ: Tìm $m$ để $f(x)=x^3-3x+1=m$ có 3 nghiệm phân biệt.

$f'(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1$. $f(-1)=3$ (CĐ); $f(1)=-1$ (CT).

Để 3 nghiệm: $y_{CT}

Luyện tập trắc nghiệm

1 / 25
Câu 1
Trắc nghiệm đơnTrung bình

Hàm số $y = x^3 - 3x^2$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
$2$
B
$1$
C
$0$
D
$3$
Bài trướcBài 3. Đường tiệm cậnBài tiếp theoBài 5. Ứng dụng đạo hàm vào thực tiễn