L
LỚP 12 LMS
Môn Toán 12

Bài 6. Vectơ trong không gian

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản

Vectơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu $\vec{a}$ hoặc $\overrightarrow{AB}$.

  • Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=AB$.
  • Cùng phương: Giá song song hoặc trùng nhau.
  • Bằng nhau: Cùng hướng và cùng độ dài.
  • Vectơ không: $\vec{0}$, cùng phương với mọi vectơ.
💡 Chú ý 1 – Khác với vectơ phẳng: Trong không gian 3D, hai vectơ cùng phương không nhất thiết cùng nằm trên một đường thẳng (chỉ cần giá song song/trùng). Hai vectơ có thể bằng nhau nhưng nằm trên hai đường thẳng chéo nhau.

2. Các phép toán vectơ

Cộng và trừ

  • Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
  • Quy tắc hình bình hành: $ABCD$ hình bình hành → $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
  • Quy tắc hình hộp: $ABCD.A'B'C'D'$ hình hộp → $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.

Nhân với số thực

$|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|$; cùng hướng $\vec{a}$ khi $k>0$, ngược hướng khi $k<0$.

⚠️ Chú ý 2 – Quy tắc hình hộp mở rộng:
Với hệ $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AA'}$, mọi đỉnh và trung điểm cạnh trong hình hộp đều có thể biểu diễn theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$:
• $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$; $\overrightarrow{AB'}=\vec{a}+\vec{c}$; $\overrightarrow{AD'}=\vec{b}+\vec{c}$; $\overrightarrow{AC'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.
• Trung điểm $M$ của $CC'$: $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\vec{b}+\tfrac{1}{2}\vec{c}$.

3. Điều kiện đồng phẳng

Định lý

Cho $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương. Ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại số thực $m,n$ sao cho:

$$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$$

Phân tích theo 3 vectơ không đồng phẳng

Nếu $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không đồng phẳng thì với mọi vectơ $\vec{d}$, tồn tại duy nhất bộ $(m,n,p)$ sao cho $\vec{d}=m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}$.

📝 Chú ý 3 – Điểm đồng phẳng: Bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ với $m,n\in\mathbb{R}$. Nếu không tìm được $m,n$ thì 4 điểm không đồng phẳng (tạo tứ diện).

4. Tích vô hướng

Định nghĩa và công thức

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b})$$

Điều kiệnKết quả
$\vec{a}\perp\vec{b}$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
$\vec{a}\cdot\vec{a}$$|\vec{a}|^2$
Tính góc$\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
Độ dài tổng$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$
⚠️ Chú ý 4 – Trọng tâm: Với $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Với điểm $S$ bất kỳ: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}$.

Dạng 1: Phép toán vectơ – Quy tắc hình hộp

  1. Dùng quy tắc 3 điểm ghép vectơ liên tiếp.
  2. Dùng quy tắc hình bình hành cho 2 cạnh chung gốc.
  3. Dùng quy tắc hình hộp: 3 cạnh chung gốc tại đỉnh = đường chéo.
  4. Biểu diễn vectơ trung điểm: nếu $M$ là trung điểm $CD$ thì $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$.
Ví dụ 1: Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AC'}$.

$\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}$ (do $BCC'B'$ là hình bình hành).

$\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}$ (do $ADD'A'$ là hình bình hành).

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}$... Sửa: dùng quy tắc hình hộp từ $A$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ → thay $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$: đúng.

Ví dụ 2: Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AA'}$. Phân tích $\overrightarrow{AM}$ với $M$ là trung điểm $CC'$.

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$.

$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CC'}=\frac{1}{2}\vec{c}$.

Vậy $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.

Dạng 2: Phân tích vectơ – Điều kiện đồng phẳng

  1. Viết vectơ cần phân tích dưới dạng $\vec{d}=m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}$.
  2. Giải hệ phương trình tìm $m,n,p$.
  3. Kiểm tra đồng phẳng: nếu tồn tại $m,n$ sao cho $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ → đồng phẳng; nếu $p\neq0$ → không đồng phẳng.
Ví dụ: Cho tứ diện $ABCD$. Tìm điều kiện để 4 điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.

4 điểm đồng phẳng khi $\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ với $m,n\in\mathbb{R}$.

Nếu không tồn tại cặp $(m,n)$ thỏa mãn → 4 điểm tạo thành tứ diện (không đồng phẳng).

Dạng 3: Tích vô hướng – Tính góc và độ dài

  1. Xác định góc giữa hai vectơ từ hình vẽ.
  2. Dùng $\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$ để tính góc, hoặc tính $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
  3. Tính độ dài: $|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$.
Ví dụ 1: Tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

$\triangle ABC$ đều cạnh $a$: góc tại $A$ là $60°$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot\cos60°=\dfrac{a^2}{2}$.

Ví dụ 2: $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=4$, $(\vec{a},\vec{b})=120°$. Tính $|\vec{a}+\vec{b}|$.

$|\vec{a}+\vec{b}|^2=9+16+2\cdot3\cdot4\cdot\cos120°=25+24\cdot(-\tfrac{1}{2})=25-12=13$.

$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$.

Luyện tập trắc nghiệm

1 / 25
Câu 1
Trắc nghiệm đơnTrung bình

Khẳng định nào sau đây là SAI về phép cộng vectơ?

A
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
B
$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$
C
$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$
D
$\vec{a}+\vec{b}=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
Bài trướcBài 5. Ứng dụng đạo hàm vào thực tiễnBài tiếp theoBài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian