L
LỚP 12 LMS
Môn Toán 12

Bài 11. Nguyên hàm

1. Khái niệm và tính chất nguyên hàm

$F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$.

Ký hiệu: $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ ($C\in\mathbb{R}$: hằng số tích phân).

💡 Ba tính chất cốt lõi:
  1. $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$ — vi phân và tích phân là hai phép toán ngược nhau.
  2. $\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$ — đưa hằng số ra ngoài.
  3. $\int[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$ — tuyến tính.
⚠️ Lưu ý: Họ nguyên hàm của $f$ có vô số hàm, tất cả đều có dạng $F(x)+C$. Hai nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một hằng số.

2. Bảng nguyên hàm và công thức mở rộng

Hàm số $f(x)$Nguyên hàm $\int f(x)\,dx$Mở rộng $\int f(ax+b)\,dx$
$x^\alpha\ (\alpha\neq-1)$$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$$\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{a(\alpha+1)}+C$
$\dfrac{1}{x}$$\ln|x|+C$$\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C$
$e^x$$e^x+C$$\dfrac{e^{ax+b}}{a}+C$
$a^x\ (a>0,a\neq1)$$\dfrac{a^x}{\ln a}+C$$\dfrac{a^{cx}}{c\ln a}+C$
$\sin x$$-\cos x+C$$-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}+C$
$\cos x$$\sin x+C$$\dfrac{\sin(ax+b)}{a}+C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$$\tan x+C$$\dfrac{\tan(ax)}{a}+C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$$-\cot x+C$$-\dfrac{\cot(ax)}{a}+C$
📝 Quy tắc hàm hợp tuyến tính: $\int f(ax+b)\,dx=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+C$. Ý nghĩa: nhân nguyên hàm với $\dfrac{1}{a}$ (hệ số của $x$). Ví dụ: $\int\sin(3x-1)\,dx=-\dfrac{\cos(3x-1)}{3}+C$.

3. Ứng dụng nguyên hàm vào thực tế

① Bài toán chuyển động

BiếtTìmPhương pháp
Gia tốc $a(t)$Vận tốc $v(t)$$v(t)=\int a(t)\,dt+C$; dùng $v(t_0)$ tìm $C$
Vận tốc $v(t)$Quãng đường $s(t)$$s(t)=\int v(t)\,dt+C$; dùng $s(t_0)$ tìm $C$

② Bài toán kinh tế

BiếtTìmCông thức
Chi phí biên $C'(q)$Hàm chi phí $C(q)$$C(q)=\int C'(q)\,dq$; dùng $C(0)$ tìm hằng số
Doanh thu biên $R'(q)$Hàm doanh thu $R(q)$$R(q)=\int R'(q)\,dq$; thường $R(0)=0$
💡 Chú ý: Chi phí biên $C'(q)$ = chi phí sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa. Doanh thu biên $R'(q)$ = doanh thu từ đơn vị hàng hóa tiếp theo.

Nguyên hàm cơ bản từ bảng công thức

  1. Khai triển biểu thức về tổng các số hạng cơ bản (nhân tung, hằng đẳng thức, chia phân thức).
  2. Áp dụng tính chất tuyến tính: $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$.
  3. Dùng bảng nguyên hàm và quy tắc hàm hợp tuyến tính $\int f(ax+b)=\dfrac{F(ax+b)}{a}+C$.
Ví dụ 1: Tìm $\int\left(3x^2-\dfrac{2}{x}+5e^x\right)dx$.

$=3\cdot\dfrac{x^3}{3}-2\ln|x|+5e^x+C=x^3-2\ln|x|+5e^x+C$.

Ví dụ 2 (hàm hợp tuyến tính): Tìm $\int\cos(2x-1)\,dx$ và $\int e^{3x}\,dx$.

$\int\cos(2x-1)\,dx=\dfrac{\sin(2x-1)}{2}+C$.

$\int e^{3x}\,dx=\dfrac{e^{3x}}{3}+C$.

Nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước

  1. Tìm họ nguyên hàm: $F(x)=G(x)+C$.
  2. Thay điều kiện $F(x_0)=k$ để tìm giá trị cụ thể của $C$.
  3. Viết kết quả hoàn chỉnh.
Ví dụ: Tìm $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=4x^3-6x^2+2$ biết $F(1)=3$.

$F(x)=x^4-2x^3+2x+C$. $F(1)=1-2+2+C=1+C=3\Rightarrow C=2$.

Vậy $F(x)=x^4-2x^3+2x+2$.

Ứng dụng nguyên hàm vào bài toán thực tế

  1. Nhận diện đại lượng cần tìm là nguyên hàm của đại lượng nào ($v=\int a\,dt$; $s=\int v\,dt$; $C=\int C'\,dq$).
  2. Tìm họ nguyên hàm.
  3. Dùng điều kiện ban đầu (tại $t=0$ hoặc $q=0$) để tìm hằng số $C$.
  4. Tính giá trị yêu cầu.
Ví dụ 1 (chuyển động): Vật có gia tốc $a(t)=6t-4$ (m/s²). Biết $v(0)=10$ m/s và $s(0)=0$. Tìm $v(t)$ và $s(t)$.

$v(t)=\int(6t-4)dt=3t^2-4t+C_1$. $v(0)=C_1=10\Rightarrow v(t)=3t^2-4t+10$.

$s(t)=\int(3t^2-4t+10)dt=t^3-2t^2+10t+C_2$. $s(0)=C_2=0\Rightarrow s(t)=t^3-2t^2+10t$.

Ví dụ 2 (kinh tế): Chi phí biên $C'(q)=3q^2-4q+10$ (triệu đồng/sản phẩm). Chi phí cố định $C(0)=5$ triệu đồng. Tìm hàm chi phí $C(q)$ và tính $C(4)$.

$C(q)=\int(3q^2-4q+10)\,dq=q^3-2q^2+10q+C_0$. $C(0)=C_0=5$.

$C(q)=q^3-2q^2+10q+5$. $C(4)=64-32+40+5=77$ triệu đồng.

Luyện tập trắc nghiệm

1 / 25
Câu 1
Trắc nghiệm đơnTrung bình

Nguyên hàm của $f(x)=x^4$ là:

A
$\dfrac{x^5}{5}+C$
B
$4x^3+C$
C
$x^5+C$
D
$\dfrac{x^3}{3}+C$
Bài trướcBài 10. Phương sai và độ lệch chuẩnBài tiếp theoBài 12. Tích phân