I. Công thức tích phân từng phần
\(\int\limits_a^b {udv} = \left. {\left( {uv} \right)} \right|_a^b – \int\limits_a^b {vdu} \)
Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\ln tdt} .$
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dt}}{t}\\v = t\end{array} \right.$.
Khi đó $I = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. – \int\limits_1^2 {dt} = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. – t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 2\ln 2 – 1.$
II. Tích phân có chứa hàm số logarit
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.} $
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$
Khi đó $I = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{2}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. – \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e x = \dfrac{{{e^2}}}{2} – \dfrac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}$
III. Tích phân có chứa hàm số mũ
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \)
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$
Khi đó $I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 – \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e – 1.$
IV. Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = – \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x} $
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = – \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..$
Khi đó $I = – \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} = – \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{{\sin 2x}}{4}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. = \dfrac{1}{4}.$
V. Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ
Tính tích phân \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv} = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)
Ví dụ: Tính $K = \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} $
Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = – 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$
Suy ra $K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi {{e^x}\sin 2xdx} = {e^\pi } – 1 + 2M$
Tính $M = \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin 2xdx} $
Ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.$
Suy ra $M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. – 2\int\limits_0^\pi {{e^x}\cos 2x} = – 2K$
Khi đó $K = {e^\pi } – 1 + 2\left( { – 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } – 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } – 1}}{5}$
– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.
– Ở bước 1, ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)
