Sách bài tập Toán 9 Bài 5 (Kết nối tri thức): Bất đẳng thức và tính chất

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

Bài 2.7 trang 25 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe ô tô được phép đi trong điều kiện bình thường. Hãy viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép của ô tô

a) ở làn ngoài cùng bên trái và ở làn giữa;

b) ở làn ngoài cùng bên phải.

Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông

Lời giải:

Gọi x (km/h) là tốc độ cho phép của ô tô trên cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung lương trong điều kiện bình thường. Khi đó ta có:

a) 60 ≤ x và x ≤ 100 hay 60 ≤ x ≤ 100.

b) 50 ≤ x và x ≤ 80 hay 50 ≤ x ≤ 80.

Bài 2.8 trang 25 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Viết bắt đẳng thức để mô tả tình huống sau:

a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội.

b) Một thang máy chở được tối đa 700 kg.

c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất 1 triệu đồng mới được giảm giá.

d) Bạn phải ném vào rổ ít nhắt 5 quả bóng mới vào được đội tuyển bóng rổ.

Lời giải:

a) Gọi số tuổi của một người là t (tuổi). Để người đó được đi bầu cử đại biểu quốc hội thì t ≥ 18.

b) Gọi x (kg) là khối lượng hàng hóa mà thang máy chở được. Khi đó x ≤ 700.

c) Gọi a (đồng) là số tiền mua hàng. Để được giảm giá thì a ≥ 1 000 000.

d) Gọi y là số bóng được ném vào rổ.

Để được tham gia vào đội tuyển bóng rổ thì y ≥ 5.

Bài 2.9 trang 25 sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh:

a) $- \frac{2019}{1010}$ và $- \frac{201}{100}$ ;

b) $\frac{2024^{2} - 1}{2024}$ và $\frac{2025^{2} + 1}{2025}$ .

Lời giải:

a) Ta có $- \frac{2019}{1010} > - \frac{2020}{1010} = - 2$ ; $- 2 = - \frac{200}{100} > - \frac{201}{100}$ .

Ta thấy $- \frac{2019}{1010} > - 2 > \frac{- 201}{100}$ , do đó $- \frac{2019}{1010} > \frac{- 201}{100}$ .

b) Ta có $\frac{2024^{2} - 1}{2024} < \frac{2024^{2}}{2024} = 2024$ ;

$2025 = \frac{2025^{2}}{2025} < \frac{2025^{2} + 1}{2025}$ ;

2024 < 2025.

Ta thấy $\frac{2024^{2} - 1}{2024} < 2024 < 2025 < \frac{2025^{2} + 1}{2025}$ .

Do đó $\frac{2024^{2} - 1}{2024} < \frac{2025^{2} + 1}{2025}$ .

Bài 2.10 trang 25 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a > b, hãy so sánh:

a) 20a + 5b và 20b + 5a;

b) –3(a + b) – 1 và –6b – 1.

Lời giải:

a) Vì a > b nên 15a > 15b

15a + 5a + 5b > 15b + 5a + 5b

20a + 5b > 20b + 5a

Vậy 20a + 5b > 20b + 5a.

b) Vì a > b nên –3a < –3b

–3a – 3b – 1< –3b – 3b – 1

–3(a + b) – 1 < –6b – 1

Vậy –3(a + b) – 1 < –6b – 1.

Bài 2.11 trang 25 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a > b > 0, chứng minh rằng

a) a² > ab và ab > a²;

b) a² > b² và a³ > b³.

Chú ý: Tính chất “Với a > b > 0 thì a² > b² và a³ > b³” thường hay dùng trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Lời giải:

a) Vì a > b > 0 nên:

⦁ a . a > b . a hay a²> ab.

⦁ a . b > b . b hay ab > b².

Vậy với a > b > 0 thì a²> ab và ab > a².

b) Theo câu a ta có:

a²> ab > b², suy ra a²> b².

Vì a²> b² nên:

⦁ a². a > b². a hay a³> ab².

⦁ b². a > b². b hay ab²> b³.

Suy ra a³> ab²> b³ hay a³> b³.

Vậy với a > b > 0 thì a³> b³.

Bài 2.12 trang 25 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta có $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b$

Lời giải:

Xét hiệu $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - a b$ ta được:

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - a b = \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$

Vì (a + b)²≥ 0 nên $\frac{{(a + b)}^{2}}{2} \geq 0$ hay $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - a b \geq 0$ , suy ra $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b$ .

Vậy với mọi số a, b ta có $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b$ .

Bài 2.13 trang 25 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng: Trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Lời giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n – 1, n và n + 1.

Ta có n²– (n + 1)(n – 1) = n²– (n²– 1) = 1 > 0.

Suy ra n²– (n + 1)(n – 1) > 0, hay n²> (n + 1)(n – 1).

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Lý thuyết Bất đẳng thức và tính chất

1. Bất đẳng thức

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực

Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:

a) Số a bằng số b, kí hiệu $a = b$ .

b) Số a lớn hơn số b, kí hiệu $a > b$ .

c) Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu $a < b$ .

Khi biểu kiễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn.

Số a lớn hơn hoặc bằng số b, tức là $a > b$ hoặc $a = b$ , kí hiệu là $a \geq b$ .

Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b, tức là $a < b$ hoặc $a = b$ , kí hiệu là $a \leq b$ .

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$ , $a \geq b$ , $a \leq b$ ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $- 3 < - 2$ (hay $6 > 3$ và $8 > 5$ ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức $1 < 2$ và $- 2 > - 3$ (hay $6 > 3$ và $5 < 8$ ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ .

Nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$ .

Nếu $a \leq b$ và $b \leq c$ thì $a \leq c$ .

Nếu $a \geq b$ và $b \geq c$ thì $a \geq c$ .

Ví dụ: Vì $\frac{2024}{2023} = 1 + \frac{1}{2023} > 1$ và $\frac{2021}{2022} = 1 - \frac{1}{2022} < 1$ nên $\frac{2024}{2023} > \frac{2021}{2022}$ .

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ .

Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a + c \leq b + c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a + c \geq b + c$ .

Ví dụ: Vì $2023 < 2024$ nên $2023 + (- 19) < 2024 + (- 19)$

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c > 0, ta có:

Nếu $a < b$ thì $a c < b c$ .

Nếu $a > b$ thì $a c > b c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a c \leq b c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a c \geq b c$ .

– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c < 0, ta có:

Nếu $a < b$ thì $a c > b c$ .

Nếu $a > b$ thì $a c < b c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a c \geq b c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a c \leq b c$ .

Ví dụ:

Vì $- 7 < - 5$ và $3 > 0$ nên $3. (- 7) < 3. (- 5)$ .

Vì $- 7 < - 5$ và $- 3 < 0$ nên $(- 3) . (- 7) > (- 3) . (- 5)$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài liên quan