Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Kết nối tri thức): Phép nhân đa thức

Giải SBT Toán lớp 8 Bài 4: Phép nhân đa thức

Giải SBT Toán 8 trang 13

Bài 1.18 trang 13 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân:

a) 0,5x²y(4x² – 6xy + y²);

b) $\left(3x^3–6x^{2}y+9x{y}^2\right)\left(–\frac{2}{3}x{y}^2\right)$.

Lời giải:

a) 0,5x²y(4x² – 6xy + y²)

= 0,5x²y.4x² ‒ 0,5x²y.6xy + 0,5x²y.y²

= 2x⁴y ‒ 3x³y² + 0,5x²y³.

b) $\left(3x^3–6x^{2}y+9x{y}^2\right)\left(–\frac{2}{3}x{y}^2\right)$

$=3x^3.\left(–\frac{2}{3}x{y}^2\right)+\left(–6x^{2}y\right).\left(–\frac{2}{3}x{y}^2\right)+9x{y}^2.\left(–\frac{2}{3}x{y}^2\right)$

= ‒2x⁴y² + 4x³y³ ‒ 6x²y⁴.

Bài 1.19 trang 13 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

a) A = x(x – y + 1) + y(x + y – 1) tại x = 3; y = 3;

b) B = x(x – y²) + y(x² – y) – (x + y)(x – y) tại x = 2; y = –0,5.

Lời giải:

a) Ta có:

A = x(x – y + 1) + y(x + y – 1)

= x.x ‒ x.y + x.1 + y.x + y.y ‒ y.1

= x² ‒ xy + x + xy + y² ‒ y

= x² + y² + x ‒ y + (‒xy+ xy)

= x² + y² + x ‒ y.

Tại x = 3; y = 3 ta có:

A = 3² + 3² + 3 ‒ 3 = 18.

b) B = x(x – y²) + y(x² – y) – (x + y)(x – y)

= x.x ‒ x.y² + y.x² ‒ y.y ‒ [x.(x – y) + y(x – y)]

= x² ‒ xy² + x²y ‒ y² ‒ [x²– xy + xy – y²]

= x² ‒ xy² + x²y ‒ y² ‒ [x² – y²]

= x² ‒ xy² + x²y ‒ y² ‒ x² + y²

= (x² ‒ x²) ‒ xy² + x²y + (‒ y² + y²)

= x²y ‒ xy².

Tại x = 2; y = –0,5 ta có:

B = 2².(–0,5) ‒ 2.(–0,5)² = –2 – 0,5 = ‒2,5.

Giải SBT Toán 8 trang 14

Bài 1.20 trang 14 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) (x – 2y)(x²z + 2xyz + 4y²z);

b) $\left(x^2–\frac{1}{3}xy+\frac{1}{9}{y}^2\right)\left(x+\frac{1}{3}y\right)$.

Lời giải:

a) (x – 2y)(x²z + 2xyz + 4y²z)

= x.(x²z + 2xyz + 4y²z) – 2y.(x²z + 2xyz + 4y²z)

= x³z + 2x²yz + 4xy²z ‒ 2x²yz ‒ 4xy²z ‒ 8y³z

= x³z + (2x²yz ‒ 2x²yz) + (4xy²z ‒ 4xy²z) ‒ 8y³z

= x³z ‒ 8y³z.

b) $\left(x^2–\frac{1}{3}xy+\frac{1}{9}{y}^2\right)\left(x+\frac{1}{3}y\right)$

$=x^2.\left(x+\frac{1}{3}y\right)–\frac{1}{3}xy.\left(x+\frac{1}{3}y\right)+\frac{1}{9}{y}^2.\left(x+\frac{1}{3}y\right)$

$=x^3+\frac{1}{3}{x}^{2}y–\frac{1}{3}{x}^{2}y–\frac{1}{9}x{y}^2+\frac{1}{9}x{y}^2+\frac{1}{27}{y}^3$

$=x^3+\left(\frac{1}{3}{x}^{2}y–\frac{1}{3}{x}^{2}y\right)+\left(–\frac{1}{9}x{y}^2+\frac{1}{9}x{y}^2\right)+\frac{1}{27}{y}^3$

$=x^3+\frac{1}{27}{y}^3$.

Bài 1.21 trang 14 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tìm tích của hai đa thức:

a) 2x⁴ – x³y + 6xy³ + 2y⁴ và x⁴ + 3x³y – y⁴;

b) x³y + 0,4x²y² – xy³ và 5x² – 2,5xy + 5y².

Lời giải:

a) (2x⁴ – x³y + 6xy³ + 2y⁴)(x⁴ + 3x³y – y⁴)

= 2x⁴.(x⁴ + 3x³y – y⁴) – x³y.(x⁴ + 3x³y – y⁴) + 6xy³.(x⁴ + 3x³y – y⁴) + 2y⁴.(x⁴ + 3x³y – y⁴)

= 2x⁸ + 6x⁷y ‒ 2x⁴y⁴ ‒ x⁷y ‒ 3x⁶y² + x³y⁵ + 6x⁵y³ + 18x⁴y⁴ ‒ 6xy⁷ + 2x⁴y⁴ + 6x³y⁵ ‒ 2y⁸

= 2x⁸ + (6x⁷y ‒ x⁷y) + (‒2x⁴y⁴+18x⁴y⁴ + 2x⁴y⁴) ‒ 3x⁶y² + (x³y⁵ + 6x³y⁵) + 6x⁵y³ ‒ 6xy⁷‒ 2y⁸

= 2x⁸ + 5x⁷y + 18x⁴y⁴ ‒ 3x⁶y² + 7x³y⁵ + 6x⁵y³ ‒ 6xy⁷‒ 2y⁸.

b) (x³y + 0,4x²y² – xy³)(5x² – 2,5xy + 5y²)

= x³y.(5x² – 2,5xy + 5y²) + 0,4x²y².(5x² – 2,5xy + 5y²) – xy³.(5x² – 2,5xy + 5y²)

= 5x⁵y ‒ 2,5x⁴y² + 5x³y³ + 2x⁴y² ‒ x³y³ + 2x²y⁴ ‒ 5x³y³ + 2,5x²y⁴ ‒ 5xy⁵

= 5x⁵y + (‒2,5x⁴y² + 2x⁴y²) + (5x³y³ ‒ x³y³ ‒ 5x³y³) + (2x²y⁴ + 2,5x²y⁴) ‒ 5xy⁵

= 5x⁵y ‒ 0,5x⁴y² ‒ x³y³ + 4,5x²y⁴ ‒ 5xy⁵.

Bài 1.22 trang 14 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến:

P = x⁴ – (x – y)(x + y)(x² + y²) – y⁴.

Lời giải:

P = x⁴ – (x – y)(x + y)(x² + y²) – y⁴

= x⁴ – [(x – y)(x + y)](x² + y²)– y⁴

= x⁴ – [x(x + y) – y(x + y)](x² + y²)– y⁴

= x⁴ – [x² + xy – xy – y²](x² + y²)– y⁴

= x⁴ – (x² ‒ y²)(x² + y²)– y⁴

= x⁴ – (x⁴+x²y² – x²y² – y⁴)– y⁴

= x⁴ ‒ (x⁴ ‒ y⁴) – y⁴

= x⁴ ‒ x⁴ + y⁴ – y⁴

= (x⁴ ‒ x⁴) + (y⁴ – y⁴) = 0

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

Bài 1.23 trang 14 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) (x – y)(y + z)(z + x) + (x + y)(y – z)(z + x) + (x + y)(y + z)(z – x);

b) (2x + y)(2y + z)(2z + x) – (2x – y)(2y – z)(2z – x).

Lời giải:

a) Ta có M = A + B + C, trong đó:

A = (x – y)(y + z)(z + x)

= (xy + xz ‒ y² ‒ yz)(z + x)

= xyz + x²y + xz² + x²z ‒ y²z ‒ xy² ‒ yz² ‒ xyz

= (xyz ‒ xyz) + x²y ‒ xy² + xz² + x²z ‒ y²z ‒ yz²

= x²y ‒ xy² + xz² + x²z ‒ y²z ‒ yz²

B = (x + y)(y – z)(z + x)

= (xy ‒ xz + y² ‒ yz)(z + x)

= xyz + x²y ‒ xz² – x²z + y²z + xy² ‒ yz² ‒ xyz

= (xyz ‒ xyz) + x²y ‒ xz² – x²z + y²z + xy² ‒ yz²

= x²y + xy² ‒ xz² – x²z + y²z ‒ yz²

C = (x + y)(y + z)(z – x)

= (xy + xz + y² + yz)(z ‒ x)

= xyz ‒ x²y + xz² ‒ x²z + y²z ‒ xy² + yz² ‒ xyz

= (xyz ‒ xyz) ‒ x²y ‒ xy² +xz² ‒ x²z + y²z + yz²

= ‒ x²y ‒ xy² + xz² ‒ x²z + y²z + yz².

Khi đó: M = A + B + C

= x²y ‒ xy² + xz² + x²z ‒ y²z ‒ yz² + x²y + xy² ‒ xz² – x²z + y²z ‒ yz²‒ x²y ‒ xy² + xz² ‒ x²z + y²z + yz²

= (x²y + x²y ‒ x²y) + (‒xy² + xy² ‒ xy²) + (xz² ‒ xz² + xz²) + (x²z ‒ x²z ‒ x²z) + (–y²z + y²z + y²z) + (‒yz² ‒ yz² + yz²)

= x²y ‒ xy² + xz² ‒ x²z + y²z ‒ yz².

b) Ta có N = P ‒ Q, trong đó:

P = (2x + y)(2y + z)(2z + x)

= (4xy + 2xz + 2y² + yz)(2z + x)

= 8xyz + 4x²y + 4xz² + 2x²z + 4y²z + 2xy² + 2yz² + xyz

= (8xyz + xyz) + 4x²y + 4xz² + 2x²z + 4y²z + 2xy² + 2yz²

= 9xyz + 4x²y + 4y²z + 4xz² + 2xy² + 2yz²+ 2x²z.

Q = (2x – y)(2y – z)(2z – x)

= (4xy ‒ 2xz ‒ 2y² + yz)(2z ‒ x)

= 8xyz ‒ 4x²y ‒ 4xz²+ 2x²z – 4y²z + 2xy² + 2yz² ‒ xyz

= (8xyz ‒ xyz) ‒ 4x²y ‒ 4xz²+2x²z – 4y²z + 2xy² + 2yz²

= 7xyz ‒ 4x²y ‒ 4xz² ‒ 4y²z + 2xy² + 2yz² + 2x²z.

Từ đó: N = P – Q

= 9xyz + 4x²y + 4y²z + 4xz² + 2xy² + 2yz²+ 2x²z‒ (7xyz ‒ 4x²y ‒ 4xz² ‒ 4y²z + 2xy² + 2yz² + 2x²z)

= 9xyz + 4x²y + 4xz² + 4y²z + 2xy² + 2yz² + 2x²z ‒ 7xyz + 4x²y + 4xz² + 4y²z ‒ 2xy² ‒ 2yz² ‒ 2x²z

= (9xyz ‒ 7xyz) + (4x²y + 4x²y) + (4y²z + 4y²z) + (4xz² + 4xz²) + (2xy² ‒ 2xy²) + (2xy² ‒ 2yz²) + (2x²z ‒ 2x²z)

= 2xyz + 8x²y + 8y²z + 8xz^2..

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

Bài 4: Phép nhân đa thức

Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức

Bài tập cuối chương 1

Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Lý thuyết Phép nhân đa thức

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(-3x^{2}y)(4xy)=\left[\left(-3.4\right)\right].(x^2.x).\left(y.y\right)=-12.x^3.y^2$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}3x^{2}y\left(2x^{2}y-xy+3y^2\right)\\ =(3x^{2}y).(2x^{2}y)-(3x^{2}y).(xy)+(3x^{2}y).(3y^2)\\ =\mathrm{3.2.}(x^2.x^2)\left(y.y\right)-3.(x^2.x).\left(y.y\right)+\mathrm{3.3.}{x}^2.\left(y.y^2\right)\\ =6x^4{y}^2-3x^3.y^2+9x^2{y}^3\end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(xy+1)(xy-3)\\ =(xy).\left(xy\right)+xy-3xy-3\\ =x^2{y}^2-2xy-3\end{array}$