Sách bài tập Toán 8 Bài 22 (Kết nối tri thức): Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Giải SBT Toán lớp 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Giải SBT Toán 8 trang 6

Bài tập 6.6 trang 6 SBT Toán 8 Tập 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, chứng minh $\frac{x^{4} - 1}{x - 1} = x^{3} + x^{2} + x + 1$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x^{4} - 1}{x - 1}$ là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Với điều kiện trên, ta có:

$\frac{x^{4} - 1}{x - 1} = \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)}{x - 1}$

$= \frac{(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) : (x - 1)}{(x - 1) : (x - 1)}$

$= (x + 1) (x^{2} + 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1$

Bài tập 6.7 trang 6 SBT Toán 8 Tập 2: Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức và quy tắc đổi dấu, viết phân thức $\frac{24 x^{2} y^{2}}{3 x y^{5}}$ thành một phân thức có mẫu là –y³ rồi tìm đa thức B trong đẳng thức $\frac{24 x^{2} y^{2}}{3 x y^{5}} = \frac{B}{- y^{3}}$

Lời giải:

Với x ≠ 0, y ≠ 0. Ta có:

$\frac{24 x^{2} y^{2}}{3 x y^{5}} = \frac{24 x^{2} y^{2} : 3 x y^{2}}{3 x y^{5} : 3 x y^{2}} = \frac{8 x}{y^{3}}$

Áp dụng quy tắc đổi dấu: $\frac{8 x}{y^{3}} = \frac{- 8 x}{- y^{3}}$

Do đó, $\frac{24 x^{2} y^{2}}{3 x y^{5}} = \frac{- 8 x}{- y^{3}} = \frac{B}{- y^{3}}$

Vậy B = –8x.

Giải SBT Toán 8 trang 7

Bài tập 6.8 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn phân thức $\frac{x - x^{2}}{5 x^{2} - 5}$ rồi tìm đa thức A trong đẳng thức $\frac{x - x^{2}}{5 x^{2} - 5} = \frac{x}{A}$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x - x^{2}}{5 x^{2} - 5}$ là: 5x² – 5 ≠ 0 hay 5(x² – 1) ≠ 0, điều đó có nghĩa là 5(x – 1)(x + 1) ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠ –1.

Với điều kiện trên, ta có:

$\frac{x - x^{2}}{5 x^{2} - 5} = \frac{x (1 - x)}{5 (x^{2} - 1)} = \frac{x (1 - x)}{5 (x - 1) (x + 1)} = \frac{x (1 - x)}{- 5 (1 - x) (x + 1)}$

$= \frac{x (1 - x) : (1 - x)}{- 5 (1 - x) (x + 1) : (1 - x)} = \frac{x}{- 5 (x + 1)} = \frac{x}{- 5 x - 5}$

Do đó, ta có: $\frac{x - x^{2}}{5 x^{2} - 5} = \frac{x}{- 5 x - 5} = \frac{x}{A}$

Vậy A = –5x – 5.

Bài tập 6.9 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn phân thức $\frac{2 x + 2 x y + y + y^{2}}{y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{2 x + 2 x y + y + y^{2}}{y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1} = \frac{(2 x + 2 x y) + (y + y^{2})}{(y^{3} + 1) + (3 y^{2} + 3 y)}$

$= \frac{2 x (1 + y) + y (1 + y)}{(y + 1) (y^{2} - y + 1) + 3 y (y + 1)}$

$= \frac{(y + 1) (2 x + y)}{(y + 1) (y^{2} - y + 1 + 3 y)} = \frac{(y + 1) (2 x + y)}{(y + 1) (y^{2} + 2 y + 1)}$

$= \frac{2 x + y}{y^{2} + 2 y + 1} = \frac{2 x + y}{{(y + 1)}^{2}}$

Bài tập 6.10 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn rồi tính giá trị của các phân thức sau

a) $P = \frac{(2 x^{2} + 2 x) {(2 - x)}^{2}}{(x^{3} - 4 x) (x + 1)}$ với x = 0,5;

b) $Q = \frac{x^{3} - x^{2} y + x y^{2}}{x^{3} + y^{3}}$ với x = –5; y = 10.

Lời giải:

Ta có:

$P = \frac{(2 x^{2} + 2 x) {(2 - x)}^{2}}{(x^{3} - 4 x) (x + 1)} = \frac{2 x (x + 1) {(2 - x)}^{2}}{x (x^{2} - 4) (x + 1)}$

$= \frac{2 x (x + 1) {(x - 2)}^{2}}{x (x - 2) (x + 2) (x + 1)}$

$= \frac{2 (x - 2)}{x + 2} = \frac{2 x - 4}{x + 2}$

Thay x = 0,5 vào P ta có: $P = \frac{2.0,5 - 4}{0,5 + 2} = - 1,2$

Ta có:

$Q = \frac{x^{3} - x^{2} y + x y^{2}}{x^{3} + y^{3}} = \frac{x (x^{2} - x y + y^{2})}{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})} = \frac{x}{x + y}$

Thay x = –5 và y = 10 vào Q ta có: $Q = \frac{x}{x + y} = \frac{- 5}{- 5 + 10} = - 1$

Bài tập 6.11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a) $\frac{25}{14 x^{2} y}$ và $\frac{14}{21 x y^{5}}$ ;

b) $\frac{4 x - 4}{2 x (x + 3)}$ và $\frac{x - 3}{3 x (x + 1)}$ .

Lời giải:

Mẫu thức chung là: 42x²y⁵

Ta có: 42x²y⁵ : 14x²y = 3y⁴ ; 42x²y⁵ : 21xy⁵ = 2x

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{25}{14 x^{2} y} = \frac{25.3 y^{4}}{14 x^{2} y .3 y^{4}} = \frac{75 y^{4}}{42 x^{2} y^{5}}$

$\frac{14}{21 x y^{5}} = \frac{14.2 x}{21 x y^{5} .2 x} = \frac{28 x}{42 x^{2} y^{5}}$ .

b) Ta có $\frac{4 x - 4}{2 x (x + 3)} = \frac{2 (2 x - 2)}{2 x (x + 3)} = \frac{2 x - 2}{x (x + 3)}$ .

Mẫu thức chung: 3x(x + 3)(x + 1).

Ta có:

3x(x + 3)(x + 1) : x(x + 3) = 3(x + 1)

3x(x + 3)(x + 1) : 3x(x + 1) = (x + 3)

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{2 x - 2}{x (x + 3)} = \frac{(2 x - 2) .3 (x + 1)}{x (x + 3) .3 (x + 1)} = \frac{3 (2 x - 2) (x + 1)}{3 x (x + 3) (x + 1)}$

$= \frac{6 (x - 1) (x + 1)}{3 x (x + 3) (x + 1)} = \frac{6 (x^{2} - 1)}{3 x (x + 3) (x + 1)}$ ;

$\frac{x - 3}{3 x (x + 1)} = \frac{(x - 3) . (x + 3)}{3 x (x + 1) . (x + 3)} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{3 x (x + 3) (x + 1)} = \frac{x^{2} - 9}{3 x (x + 3) (x + 1)}$

Bài tập 6.12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm mẫu thức chung của ba phân thức sau

$\frac{1}{x^{2} - x}$ ; $\frac{x}{1 - x^{3}}$ và $\frac{- 1}{x^{2} + x + 1}$ .

Quy đồng mẫu thức ba phân thức đã cho với mẫu thức chung tìm được.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x (x - 1)}$

$\frac{x}{1 - x^{3}} = \frac{x}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{- x}{(x - 1) (1 + x + x^{2})}$

$\frac{- 1}{x^{2} + x + 1}$

Mẫu thức chung: x(x – 1)(1 + x + x²)

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x (x - 1)} = \frac{x^{2} + x + 1}{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ ;

$\frac{x}{1 - x^{3}} = \frac{x}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{- x}{(x - 1) (1 + x + x^{2})} = \frac{- x^{2}}{x (x - 1) (1 + x + x^{2})}$

$\frac{- 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{- x (x - 1)}{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

Bài tập 6.13 trang 7 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a) $\frac{1}{x^{2} y}$ ; $\frac{1}{y^{2} z}$ và $\frac{1}{z^{2} x}$ ;

b) $\frac{1}{1 - x}$ ; $\frac{1}{x + 1}$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Lời giải:

Mẫu thức chung: x²y²z²

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{1}{x^{2} y} = \frac{y z^{2}}{x^{2} y . y z^{2}} = \frac{y z^{2}}{x^{2} y^{2} z^{2}}$

$\frac{1}{y^{2} z} = \frac{x^{2} z}{y^{2} z . x^{2} z} = \frac{x^{2} z}{x^{2} y^{2} z^{2}}$

$\frac{1}{z^{2} x} = \frac{x y^{2}}{z^{2} x . x y^{2}} = \frac{x y^{2}}{x^{2} y^{2} z^{2}}$ .

Mẫu thức chung: (1 – x)(x + 1)(x² + 1) = (1 – x²)(x² + 1) = 1 – x⁴.

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{1}{1 - x} = \frac{(x + 1) (x^{2} + 1)}{(1 - x) (x + 1) (x^{2} + 1)} = \frac{(x + 1) (x^{2} + 1)}{1 - x^{4}}$ ;

$\frac{1}{x + 1} = \frac{(1 - x) (x^{2} + 1)}{(1 - x) (x + 1) (x^{2} + 1)} = \frac{(1 - x) (x^{2} + 1)}{1 - x^{4}}$ ;

$\frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{(1 - x) (x + 1)}{(1 - x) (x + 1) (x^{2} + 1)} = \frac{(1 - x) (x + 1)}{1 - x^{4}} = \frac{1 - x^{2}}{1 - x^{4}}$ .

Bài tập 6.14 trang 7 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 0 và x ≠ 0, y ≠ z. Hãy rút gọn phân thức $\frac{x}{y^{2} - z^{2}}$

Lời giải:

Ta có: $\frac{x}{y^{2} - z^{2}} = \frac{x}{(y - z) (y + z)}$ (1)

Vì x + y + z = 0 nên ta có x = – y – z.

Thay vào (1) ta có:

$\frac{x}{y^{2} - z^{2}} = \frac{- y - z}{(y - z) (y + z)} = \frac{- (y + z)}{(y - z) (y + z)} = \frac{- 1}{y - z} = \frac{1}{z - y}$ .

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 21: Phân thức đại số

Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Bài tập cuối chương 6

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1. Tính chất cơ bản của phân thức

– Tính chất cơ bản của phân thức:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ (M là một đa thức khác đa thức không).

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A : N}{B : N} = \frac{A}{B}$ (N là nhân tử chung).

– Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ ; $\frac{- A}{B} = \frac{A}{- B} = - \frac{A}{B}$ .

Ví dụ: Để biến đổi phân thức $\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}}$ thành $\frac{- 1}{x + y}$ , ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}}$ cho y – x, khi đó

$\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}} = \frac{- (y - x)}{(y - x) (y + x)} = \frac{- 1}{x + y}$

2. Rút gọn phân thức

Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

3. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC của mẫu thức đó;

– Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{x^{2} + x}$ và $\frac{1}{x^{2} - x}$

MTC là: $x (x + 1) (x - 1)$

Ta có:

$[x (x + 1) (x - 1)] : [x (x + 1)] = x - 1; [x (x + 1) (x - 1)] : [x (x - 1)] = x + 1$

Khi đó: $\frac{1}{x^{2} + x} = \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{x - 1}{x (x + 1) (x - 1)}; \frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x (x - 1)} = \frac{x + 1}{x (x - 1) (x + 1)}$

– Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ ; $\frac{- A}{B} = \frac{A}{- B} = - \frac{A}{B}$ .

Bài liên quan