Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Tính đơn điệu của hàm số

Giải Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số – Cánh diều

Bài 1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; + ∞).

B. (– 1; 0).

C. (– 1; 1).

D. (0; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Quan sát bảng biến thiên ta thấy f‘(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (0; 1).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1).

Bài 2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 2.

B. 3.

C. – 4.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng – 4. 

Bài 3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) y = – x³ + 2x² – 3;

b) y = x⁴ + 2x² + 5;

c) y = 3x + 12 – x;

d) y = x2 – 2xx + 1

Lời giải:

a)

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

• Ta có y‘ = – 3x² + 4x;

          y‘ = 0 ⇔ – 3x² + 4x = 0 ⇔ x(3x – 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 43.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; 43 và nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và 43; +∞ .

b) y = x⁴ + 2x² + 5

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

• Ta có y‘ = 4x³ + 4x;

          y‘ = 0 ⇔ 4x³ + 4x = 0 ⇔ x(x² + 1) = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

c)

$y =\frac{3x +1}{2 –x}$

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{2}.

• Ta có

$y‘ = {\left(\frac{3x +1}{2 – x}\right)}^{‘}= \frac{3(2 – x) +(3x + 1)}{{(2 – x)}^2} = \frac{7}{{(2 – x)}^2}$

với x ≠ 2;

y‘ > 0 với mọi x ≠ 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

d)

$y = \frac{x^2 – 2x}{x + 1}$

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 1}.

• Ta có

$y‘ = {\left(\frac{x^2 – 2x}{x + 1}\right)}^{‘} = \frac{(2x – 2) (x + 1) – (x^2 – 2x)}{{(x + 1)}^2}= \frac{x^2 +2x – 2}{{(x + 1)}^2}$

với x ≠ – 1;

y‘ = 0 ⇔ x² + 2x – 2 = 0 ⇔ x = – 1 –

$\sqrt{3}$

hoặc x = -1 +

$\sqrt{3}$

.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

(-∞; -1-3)

và

(-1+3; +∞)

; nghịch biến trên mỗi khoảng

(-1-3; -1)

và

(-1; -1 +3)

.

============

Bài 4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² – 36x – 10;

b) y = – x⁴ – 2x² + 9;

c) y = x + 1x.

Lời giải:

a)

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

• Ta có y‘ = 6x² + 6x – 36;

          y‘ = 0 ⇔ 6x² + 6x – 36 = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại tại x = – 3.

b) y = – x⁴ – 2x² + 9

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

• Ta có y‘ = – 4x³ – 4x;

          y‘ = 0 ⇔ – 4x³ – 4x = 0 ⇔ x³ + x = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.

c) y = x + 1x.

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{0}.

• Ta có y‘ = 1−1×2 với x ≠ 0;

             y‘ = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và đạt cực đại tại điểm x = – 1.

Bài 5 trang 14 Toán 12 Tập 1: : Cho hai hàm số y = f(x) = x⁴ – 2x² + 2, y = g(x) = −14×4−13×3+x2−3 có đồ thị lần lượt được cho ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Lời giải:

• Hình 6a:

– Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+ Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (0; 1), đồ thị hàm số y = f(x) đi xuống từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (0; 1).

+ Trên các khoảng (– 1; 0) và (1; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) đi lên từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (– 1; 0) và (1; + ∞).

– Điểm cực trị:

+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 1. Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) ở Hình 6a, ta thấy f(x) > f(– 1) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 1. Do đó, x = – 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

Tương tự, ta thấy f(x) > f(1) với mọi x ∈ (0; + ∞) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

+ Xét khoảng (– 1; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f(x) < f(0) với mọi x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).

• Hình 6b:

– Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+ Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (0; 1), đồ thị hàm số y = g(x) đi lêm từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (0; 1).

+ Trên các khoảng (– 2; 0) và (1; + ∞), đồ thị hàm số y = g(x) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (1; + ∞).

– Điểm cực trị:

+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 2. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) < g(– 2) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 2. Vậy x = – 2 là một điểm cực đại của hàm số y = g(x).

Tương tự, ta thấy g(x) < g(1) với mọi x ∈ (0; + ∞) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực đại của hàm số y = g(x).

+ Xét khoảng (– 2; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) > g(0) với mọi x ∈ (– 2; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = g(x).

Bài 6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Thể tích V (đơn vị: cm³) của 1 kg nước tại nhiệt độ T (đơn vị: °C) với 0 ≤ T ≤ 30 được tính bởi công thức sau:

V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T² – 0,0000679T³.

(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi thể tích V(T) với 0 ≤ T ≤ 30, giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Lời giải:

Ta có V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T² – 0,0000679T³ với T ∈ [0; 30].

V‘(T) = – 0,06426 + 0,0170086T – 0,0002037T²

V‘(T) = 0 ⇔ T ≈ 4 hoặc T ≈ 79,5. Vì T ∈ [0; 30] nên T ≈ 4.

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy thể tích V(T) giảm trong khoảng nhiệt độ từ 0°C đến 4°C.

 

Bài 7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t = 126 (s), cho bởi hàm số sau:

v(t) = 0,001302t³ – 0,09029t² + 23,

(v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)

(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Lời giải:

Xét hàm số vận tốc của tàu con thoi v(t) = 0,001302t³ – 0,09029t² + 23 với t ∈ [0; 126].

Gia tốc của tàu con thoi là a(t) = v‘(t) = 0,003906t² – 0,18058t.

Ta có a‘(t) = 0,007812t – 0,18058

a‘(t) = 0 ⇔ t ≈ 23.

Bảng biến thiên của hàm số a(t) như sau:

Vậy gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian (23 s; 126 s) tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.