Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Câu hỏi khởi động trang 97 Toán 12 Tập 2: Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm 55

Tiêu chuẩn

Linh kiện

Đạt tiêu chuẩn

Không đạt tiêu chuẩn

Nhà máy I sản xuất

4 950

550

Nhà máy II sản xuất

3 915

585

Xét hai biến cố sau:

A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”;

B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”.

Khi đó, ta có:

P(B) = 0,55; P($\overline{B}$ ) = 1 – P(B) = 1 – 0,55 = 0,45; P(A | B) = 0,9; P(A | $\overline{B}$ ) = 0,87.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( $\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,55 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,87 = 0,8865.

Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.

Luyện tập 2 trang 100 Toán 12 Tập 2: Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây như trong Ví dụ 3.

Lời giải:

Xét hai biến cố sau:

A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”;

B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”.

Khi đó, ta có:

P(B) = 0,55; P($\overline{B}$ ) = 1 – P(B) = 1 – 0,55 = 0,45; P(A | B) = 0,9; P(A | $\overline{B}$ ) = 0,87.

Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( $\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,55 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,87 = 0,8865.

Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.

Hoạt động 2 trang 100 Toán 12 Tập 2: Xét hai biến cố A, B trong Hoạt động 1.

a) Tính: P(A), P(B), P(A | B) và P(B | A).

b) So sánh: P(B | A) và $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$

Lời giải:

a) Ta có: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$ ; P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$ ;

P(A | B) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ; P(B | A) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ .

b) Ta có: $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$= P(B | A).

Luyện tập 3 trang 101 Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,8; P(B | A) = 0,3. Tính P(A | B).

Lời giải:

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(A | B) = $\frac{P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,4\cdot 0,3}{0,8}=0,15$

Luyện tập 4 trang 101 Toán 12 Tập 2: Được biết có 5