Skip to content

Cộng đồng học tập lớp 12

  • Thi đấu
  • Sitemap

Cộng đồng học tập lớp 12

  • Home » 
  • Giải SGK Toán 12 – Cánh diều

Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Tích phân

By Admin Lop12.com 18/02/2025 0

Giải bài tập Toán 12 Bài 3: Tích phân

Câu hỏi khởi động trang 17 Toán 12 Tập 2: Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét).

Câu hỏi khởi động trang 17 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Làm thế nào để tính diện tích của logo?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Để tính được diện tích của logo ta cần xác định các hàm số f(x) và g(x), sau đó sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số f(x), g(x) và hai đường thẳng x = – 5, x = 4.

Vì f(x), g(x) là các parabol nên gọi f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và g(x) = a’x2 + b’x + c’ (a’ ≠ 0).

Quan sát Hình 3, ta thấy:

+ Đồ thị hàm số y = f(x) đi qua các điểm (0; 2), (4; 0) và (– 4; 0) nên

Câu hỏi khởi động trang 17 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Suy ra fx=−18x2+2.

+ Đồ thị hàm số y = g(x) đi qua các điểm (0; – 3), (4; 0) và (– 4; 0) nên

Câu hỏi khởi động trang 17 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Suy ra gx=316x2+2 .

Diện tích của logo là:

Câu hỏi khởi động trang 17 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Hoạt động 1 trang 17 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = x2. Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả các điểm M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho 1 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ x2 (Hình 4). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Hoạt động 1 trang 17 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Chia đoạn [1; 2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

x0 = 1, x1=1+1n, x2=1+2n, … ,

xn−1=1+n−1n, xn=1+nn=2 (Hình 5).

a) Tính diện tích T0 của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x0; x1] với chiều cao là f(x0).

Tính diện tích T1­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x1; x2] với chiều cao là f(x1).

Tính diện tích T2­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x2; x3] với chiều cao là f(x2).

…

Tính diện tích Tn – 1­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [xn – 1; xn] với chiều cao là f(xn–1).

Hoạt động 1 trang 17 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

b) Đặt Sn = T0 + T1 + T2 + … + Tn – 1. Chứng minh rằng:

Sn = 1n ∙ [f(x0) + f(x1) + f(x2) + … + f(xn – 1)].

Tổng Sn gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [1; 2].

Lời giải:

a) T0 = f(x0) ∙ (x1 – x0) = f(1) ∙ 1+1n−1 = f1n .

T1 = f(x1) ∙ (x2 – x1) = f(x1) ∙ 1+2n−1+1n = fx1n .

T2 = f(x2) ∙ (x3 – x2) = f(x2) ∙ 1+3n−1+2n = fx2n .

…

Tn – 1 = f(xn – 1 ) ∙ (xn – xn – 1) = f(xn – 1) ∙ 2−1+n−1n = fxn−1n .

b) T0 = f1n = fx0n .

Ta có Sn = T0 + T1 + T2 + … + Tn – 1

Luyện tập 1 trang 19 Toán 12 Tập 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x) = 2x (x ∈ [0; 2]). Xét tam giác vuông OAB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = 2x, trục Ox và đường thẳng x = 2.

a) Tính diện tích tam giác vuông OAB.

b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2x trên đoạn [0; 2]. Tính F(2) – F(0). Từ đó hãy chứng tỏ rằng Stam giác vuông OAB = F(2) – F(0).

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 19 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

a) Ta có: Stam giác vuông OAB = 12OA⋅AB=12⋅2⋅4=4.

b) Ta có: ∫fxdx=∫2xdx=2∫xdx=x2+C .

Suy ra F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên đoạn [0; 2].

Ta có F(2) = 22 = 4; F(0) = 02 = 0. Suy ra F(2) – F(0) = 4 – 0 = 4.

Mà theo câu a, ta có Stam giác vuông OAB = 4.

Vậy Stam giác vuông OAB = F(2) – F(0).

Hoạt động 2 trang 20 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x2.

a) Chứng tỏ F(x) = x33; G(x) = x33+C là các nguyên hàm của hàm số f(x) = x2.

b) Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm.

Lời giải:

a) Ta có F'(x) = x33‘=x2; G'(x) = x33+C‘=x2 (do C là hằng số).

Suy ra F(x) = x33 ; G(x) = x33+C là các nguyên hàm của hàm số f(x) = x2.

b) Ta có F(b) – F(a) = b33−a33 ; G(b) – G(a) = b33+C−a33+C=b33−a33 .

Suy ra F(b) – F(a) = G(b) – G(a).

Luyện tập 2 trang 20 Toán 12 Tập 2: Tính ∫0πcosudu

Lời giải:

Ta có ∫0πcosudu=sinu0π=sinπ−sin0=0

Hoạt động 3 trang 21 Toán 12 Tập 2: So sánh ∫012xdx và 2∫01xdx

Lời giải:

Ta có ∫012xdx=x201=12−02=1; 2∫01xdx=2⋅x2201=2⋅122−022=1

Vậy ∫012xdx=2∫01xdx

Luyện tập 3 trang 21 Toán 12 Tập 2: Cho ∫0πsin xdx=2. Tính ∫0π43sin x dx

Lời giải:

Ta có ∫0π43sin x dx=43∫0πsin x dx=43⋅2=83

Hoạt động 4 trang 21 Toán 12 Tập 2: So sánh:

Hoạt động 4 trang 21 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Hoạt động 4 trang 21 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Luyện tập 4 trang 22 Toán 12 Tập 2: Tính ∫12x3−x dx

Lời giải:

Ta có ∫12x3−x dx=∫12x3dx−∫12xdx=x4412−x2212=244−144−222−122=94

Hoạt động 5 trang 22 Toán 12 Tập 2: So sánh ∫012xdx+∫122xdx và ∫022xdx

Lời giải:

Hoạt động 5 trang 22 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Luyện tập 5 trang 22 Toán 12 Tập 2: Tính ∫13x−2dx

Lời giải:

Luyện tập 5 trang 22 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Luyện tập 6 trang 23 Toán 12 Tập 2: Tính:

Luyện tập 6 trang 23 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Luyện tập 6 trang 23 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Luyện tập 7 trang 23 Toán 12 Tập 2: Tính ∫1e73x dx

Lời giải:

Ta có ∫1e73x dx=73lnx1e=73lne−ln1=73

Luyện tập 8 trang 24 Toán 12 Tập 2: Tính:

Luyện tập 8 trang 24 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Luyện tập 8 trang 24 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Luyện tập 9 trang 25 Toán 12 Tập 2: Tính:

Luyện tập 9 trang 25 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Luyện tập 9 trang 25 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Bài tập

Bài 1 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tích phân ∫231x2 dx có giá trị bằng:

Bài 1 trang 26 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có ∫231x2 dx=∫23x−2dx=x−1−123=−1x23=−13−12=16

Bài 2 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tích phân ∫π7π5sinxdx có giá trị bằng:

Bài 2 trang 26 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có ∫π7π5sinxdx=−cosxπ7π5=−cosπ5−cosπ7=cosπ7−cosπ5

Bài 3 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tích phân ∫013x2dx có giá trị bằng:

A. −1ln3.

B. 1ln3.

C. – 1.

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có ∫013x2dx=12∫013xdx=12⋅3xln301=1231ln3−30ln3=1ln3

Bài 4 trang 26 Toán 12 Tập 2: Cho ∫−23fxdx=−10, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 3], F(3) = – 8. Tính F(– 2).

Lời giải:

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 3] nên ta có:

∫−23fxdx=Fx−23=F3−F−2.

Mà ∫−23fxdx=−10 và F(3) = – 8 nên – 8 – F(– 2) = – 10, suy ra F(– 2) = 2.

Bài 5 trang 27 Toán 12 Tập 2: Cho ∫04fx dx=4, ∫34fxdx=6. Tính ∫03fxdx

Lời giải:

Ta có ∫04fxdx=∫03fxdx+∫34fxdx .

Suy ra ∫03fxdx=∫04fxdx−∫34fxdx=4−6=−2

Bài 6 trang 27 Toán 12 Tập 2: Tính:

Bài 6 trang 27 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Bài 6 trang 27 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Bài 6 trang 27 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Bài 7 trang 27 Toán 12 Tập 2: a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi t ∈ [a; b]. Hãy giải thích vì sao ∫abvtdt biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a, b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sin t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (giây) đến thời điểm t = 3π4 (giây).

Lời giải:

a) Gọi s(t) là quãng đường đi được của chuyển động.

Ta có vận tốc là đạo của quãng đường: s'(t) = v(t). Do đó hàm số s(t) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Khi đó ta có ∫abvtdt=stab=sb−sa .

Vậy ∫abvtdt biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b.

b) Quãng đường vật đó di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (giây) đến thời điểm t = 3π4 (giây) là:

s=∫03π42−sintdt=2t+cost03π4=2⋅3π4+cos3π4−cos0=3π2−22−1≈ 3 (m).

Bài 8 trang 27 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9.

Bài 8 trang 27 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Lời giải:

Bài 8 trang 27 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Gọi phương trình đường thẳng OA là v(t) = at (a ≠ 0).

Vì OA đi qua điểm A(1; 2) nên với t = 1 thì v = 2, ta có 2 = a ∙ 1, suy ra a = 2.

Do đó, OA: v(t) = 2t.

a) Trong 1 giây đầu tiên, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số v(t) = 2t (m/s).

Quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên là:

s1=∫012tdt=t201=12−02=1 (m).

b) Trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 (giây) đến thời điểm t = 2 (giây), vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số hằng v(t) = 2.

Quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 (giây) đến thời điểm t = 2 (giây) là:

s2=∫122dt=2t12=22−1=2(m).

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên là s = 1 + 2 = 3 (m).

Bài 9 trang 27 Toán 12 Tập 2: Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L­– 1) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0, thoả mãn hệ thức y'(x) = – 7 ∙ 10– 4y(x) với x ≥ 0. Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L– 1.

a) Xét hàm số f(x) = ln y(x) với x ≥ 0. Hãy tính f'(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L– 1) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức 1b−a∫abyxdx. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Lời giải:

a) Ta có f(x) = ln y(x). Lấy đạo hàm hai vế ta được: f'(x) = y‘xyx.

Mà y'(x) = – 7 ∙ 10– 4y(x), suy ra = – 7 ∙ 10– 4.

Do đó, f'(x) = – 7 ∙ 10– 4.

Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số f'(x).

Ta có ∫f‘xdx=∫−7⋅10−4dx=−7⋅10−4x+C .

Suy ra f(x) = – 7 ∙ 10– 4x + C.

Mà f(x) = ln y(x) nên ln y(x) = – 7 ∙ 10– 4x + C. Suy ra y(x) = e−7⋅10−4x+C .

Vì tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L– 1, tức là y(0) = 0,05 nên

eC = 0,05 ⇔ C = ln0,05.

Vậy f(x) = – 7 ∙ 10– 4x + ln0,05.

b) Từ câu a, ta có y(x) = e−7⋅10−4x+ln0,05 .

Khi đó nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:

130−15∫1530yxdx=115∫1530e−7⋅10−4x+ln0,05dx=eln0,0515∫1530e−7⋅10−4xdx

=1300⋅e−7⋅10−4xlne−7⋅10−41530=−10021e−7⋅ 10−4⋅30−e−7⋅ 10−4⋅15≈0,049(mol L– 1).

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§2. Nguyên hàm của mốt số hàm số sơ cấp

§3. Tích phân

§4. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 2. Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

§1. Phương trình mặt phẳng

Tags : Tags 1. Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1   chi tiết)   Tập 2 (hay
Share
facebookShare on Facebook

Bài liên quan

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 3 trang 93

Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)

Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Nguyên hàm

Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Nguyên hàm của mốt số hàm số sơ cấp

Giải sgk Toán 12 Cánh diều | Giải bài tập Toán 12 Cánh diều Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)

Giải SGK Toán 12 Bài 4 (Cánh diều): Ứng dụng hình học của tích phân

Leave a Comment Hủy

Mục lục

  1. Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
  2. Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
  3. Giải sgk Toán 12 Cánh diều | Giải bài tập Toán 12 Cánh diều Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
  4. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Tính đơn điệu của hàm số
  5. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
  6. Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  7. Giải SGK Toán 12 Bài 4 (Cánh diều): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
  8. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 1 trang 45
  9. Giải SGK Toán 12 Chủ đề 1 (Cánh diều): Một số vấn đề về thuế
  10. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian
  11. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Toạ độ của vectơ
  12. Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
  13. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 2 trang 82
  14. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
  15. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
  16. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 3 trang 93
  17. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Nguyên hàm
  18. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Nguyên hàm của mốt số hàm số sơ cấp
  19. Giải SGK Toán 12 Bài 4 (Cánh diều): Ứng dụng hình học của tích phân
  20. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 4 trang 42
  21. Giải SGK Toán 12 Chủ đề 2 (Cánh diều): Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời
  22. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Phương trình mặt phẳng
  23. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương trình đường thẳng
  24. Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Phương trình mặt cầu
  25. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 5
  26. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Xác xuất có điều kiện
  27. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes
  28. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 6 trang 103
  29. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): THỰC HÀNH PHẦN MỀM GEOGEBRA

  • Quên mật khẩu
  • Login
  • Đăng ký
Copyright © 2025 Cộng đồng học tập lớp 12
Back to Top
Menu
  • Thi đấu
  • Sitemap
Tài khoản

  • Đăng ký
  • Lost your password ?