Skip to content

Cộng đồng học tập lớp 12

  • Thi đấu
  • Sitemap

Cộng đồng học tập lớp 12

  • Home » 
  • Giải SGK Toán 12 – Cánh diều

Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Phương trình mặt cầu

By Admin Lop12.com 18/02/2025

Giải bài tập Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Câu hỏi khởi động trang 81 Toán 12 Tập 2: Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian.

Câu hỏi khởi động trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?

Lời giải:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là:

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.

Hoạt động 1 trang 81 Toán 12 Tập 2: Nếu quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng (Hình 39) thì hình tạo thành được gọi là mặt cầu. Những điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng bao nhiêu?

Hoạt động 1 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Những điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng R.

Luyện tập 1 trang 82 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). Tính đường kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Mặt cầu tâm I đi qua điểm A nên bán kính của mặt cầu tâm I là:

R = IA = 0−12+4−22+5−32=3

Đường kính của mặt cầu đó bằng 2R = 6.

Hoạt động 2 trang 82 Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c).

a) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I.

b) Nêu mối liên hệ giữa x, y, và z để điểm M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R.

Lời giải:

a) IM = x−a2+y−b2+z−c2.

b) Điểm M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R khi IM = R, tức là x−a2+y−b2+z−c2 = R

Luyện tập 2 trang 82 Toán 12 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x2 + (y + 5)2 + (z + 1)2 = 2

Lời giải:

Ta có x2 + (y + 5)2 + (z + 1)2 = 2 ⇔ (x – 0)2 + [y – (– 5)]2 + [z – (– 1)]2 = 22.

Vậy mặt cầu đã cho có tâm I(0; – 5; – 1) và bán kính R = 2

Luyện tập 3 trang 82 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình của mặt cầu, biết:

a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ;

b) Đường kính AB với A(1; 2; 1), B(3; 4; 7).

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu tâm O bán kính R là:

x2 + y2 + z2 = R2.

b) Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB.

Tọa độ điểm I là xI=1+32=2;  yI=2+42=3; zI=1+72=4. Suy ra I(2; 3; 4).

Bán kính của mặt cầu là R = IA = 1−22+2−32+1−42=11.

Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 11.

Luyện tập 4 trang 83 Toán 12 Tập 2: Chứng minh rằng phương trình x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0 là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0

⇔ x2 – 2 ∙ 3 ∙ x + 9 + y2 – 2 ∙ 1 ∙ y + 1 + z2 – 2 ∙ 2 ∙ z + 4 = 9 + 1 + 4 + 11

⇔ (x – 3)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 25.

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm I(3; 1; 2) và bán kính R = 25 = 5.

Cách 2:

Ta có x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0

⇔ x2 + y2 + z2 – 2 ∙ 3 ∙ x – 2 ∙ 1 ∙ y – 2 ∙ 2 ∙ z – 11 = 0

Khi đó a2 + b2 + c2 – d = 32 + 12 + 22 – (– 11) = 25 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm I(3; 1; 2) và bán kính R = 25 = 5.

Luyện tập 5 trang 85 Toán 12 Tập 2: Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D(5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

Lời giải:

Đường thẳng ID đi qua điểm I và nhận ID→=5 100;623; −50 làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng ID là x=21+5100ty=35+623tz=50−50t (t là tham số).

Giả sử H là vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó IH = R.

Ta có H ∈ ID nên gọi tọa độ điểm H(21 + 5 100t; 35 + 623t; 50 – 50t).

IH→=5100t; 623t;−50t

IH = R ⇔5100t2+623t2+−50t2=4000

⇔26 400 629t2=4000

⇔ t ≈ ± 0,78.

+ Với t ≈ 0,78, ta có H(3 999; 520,94; 11), IH→ = (3 978; 485,94; – 39).

Khi đó ID→=5039IH→ nên hai vectơ ID→, IH→ cùng hướng, vậy thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng ID.

+ Với t ≈ – 0,78, ta có H(– 3 957; – 450,94; 89), IH→ = (– 3 978; – 485,94; 39).

Khi đó ID→=−5039IH→ nên hai vectơ ID→, IH→ ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm H(3 999; 520,94; 11).

Bài tập

Bài 1 trang 85 Toán 12 Tập 2: Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2 = 16 có tọa độ là:

A. (– 2; – 3; 4).

B. (2; 3; – 4).

C. (2; – 3; – 4).

D. (2; – 3; 4).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2 = 16 có tọa độ là (2; 3; – 4).

Bài 2 trang 85 Toán 12 Tập 2: Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 bằng:

A. 3.

B. 9.

C. 81.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 bằng 9=3.

Bài 3 trang 86 Toán 12 Tập 2: Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

A. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 4.

B. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 16.

C. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 4.

D. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

(x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16.

Bài 4 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100.

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Lời giải:

a) Ta có (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100 ⇔ (x – 1)2 + [y – (– 2)]2 + (z – 7)2 = 102.

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; – 2; 7) và bán kính R = 10.

b) Do IA = 1−12+1−−22+1−72=35 < 10 nên điểm A(1; 1; 1) nằm trong mặt cầu đó.

Do IB = 9−12+4−−22+7−72=100 = 10 nên điểm B(9; 4; 7) nằm trên mặt cầu đó.

Do IC = 9−12+9−−22+10−72=194 > 10 nên điểm C(9; 9; 10) nằm ngoài mặt cầu đó.

Bài 5 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 10z + 2 = 0

Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Ta có x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 10z + 2 = 0

⇔ x2 – 2 ∙ 2 ∙ x + 4 + y2 – 2y + 1 + z2 – 2 ∙ 5 ∙ z + 25 = 4 + 1 + 25 – 2

⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 5)2 = 28.

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2; 1; 5) và bán kính R=28=27

Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2;

b) (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2);

c) (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; – 3; – 1) và D(– 3; 1; 2).

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2 là:

(x – 3)2 + (y + 7)2 + (z – 1)2 = 4.

b) Ta có R = IM = 3−−12+1−42+2−−52=74.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2) là:

(x + 1)2 + (y – 4)2 + (z + 5)2 = 74.

c) Tâm của mặt cầu (S) đường kính CD là trung điểm I của đoạn thẳng CD.

Ta có xI=1+−32=−1; yI=−3+12=−1; zI=−1+22=12. Suy ra I−1;−1;12.

Bán kính R = IC = 1−−12+−3−−12+−1−122=412.

Phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn thẳng CD là:

(x + 1)2 + (y + 1)2 +z−122 = 414.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 2: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm M là M(x; y; z).

Ta có MA = 3−x2+−1−y2+6−z2=6;

MB =1−x2+4−y2+8−z2=7;

MC = 7−x2+9−y2+6−z2 = 12;

MD = 7−x2+−15−y2+18−z2=24.

Từ đó ta có hệ phương trình 3−x2+−1−y2+6−z2=36            11−x2+4−y2+8−z2=49               27−x2+9−y2+6−z2=144            37−x2+−15−y2+18−z2=576   4.

Lấy (3) – (1) ta được: (7 – x)2 – (3 – x)2 + (9 – y)2 – (– 1 – y)2 = 144 – 36

⇔ – 8x – 20y = – 12 ⇔ 2x + 5y = 3 ⇔ x = 3−5y2 (5).

Lấy (4) – (3) ta được: (– 15 – y)2 – (9 – y)2 + (18 – z)2 – (6 – z)2 = 576 – 144

⇔ 48y – 24z = 0 ⇔ 2y – z = 0 ⇔ z = 2y (6).

Thay (5) và (6) vào (2) ta được: 1−3−5y22+ (4 – y)2 + (8 – 2y)2 = 49

⇔ 45y2 – 170y + 125 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y = 259.

+ Với y = 1 thì x = – 1, z = 2. Khi đó M(– 1; 1; 2).

Thử lại bằng cách thay x = – 1, y = 1, z = 2 vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với y = 259 thì x = −499, z = 509. Khi đó M −499; 259;509.

Thử lại bằng cách thay x = −499, y =259, z = 509 vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

Vậy M(– 1; 1; 2) là điểm cần tìm.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§2. Phương trình đường thẳng

§3. Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

§1. Xác xuất có điều kiện

§2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6

Tags : Tags 1. Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1   chi tiết)   Tập 2 (hay
Share
facebookShare on Facebook

Bài liên quan

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 3 trang 93

Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)

Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Nguyên hàm

Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Nguyên hàm của mốt số hàm số sơ cấp

Giải sgk Toán 12 Cánh diều | Giải bài tập Toán 12 Cánh diều Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)

Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Tích phân

Mục lục

  1. Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
  2. Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
  3. Giải sgk Toán 12 Cánh diều | Giải bài tập Toán 12 Cánh diều Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
  4. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Tính đơn điệu của hàm số
  5. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
  6. Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  7. Giải SGK Toán 12 Bài 4 (Cánh diều): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
  8. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 1 trang 45
  9. Giải SGK Toán 12 Chủ đề 1 (Cánh diều): Một số vấn đề về thuế
  10. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian
  11. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Toạ độ của vectơ
  12. Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
  13. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 2 trang 82
  14. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
  15. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
  16. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 3 trang 93
  17. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Nguyên hàm
  18. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Nguyên hàm của mốt số hàm số sơ cấp
  19. Giải SGK Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Tích phân
  20. Giải SGK Toán 12 Bài 4 (Cánh diều): Ứng dụng hình học của tích phân
  21. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 4 trang 42
  22. Giải SGK Toán 12 Chủ đề 2 (Cánh diều): Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời
  23. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Phương trình mặt phẳng
  24. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương trình đường thẳng
  25. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 5
  26. Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Xác xuất có điều kiện
  27. Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes
  28. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 6 trang 103
  29. Giải SGK Toán 12 (Cánh diều): THỰC HÀNH PHẦN MỀM GEOGEBRA

  • Quên mật khẩu
  • Login
  • Đăng ký
Copyright © 2025 Cộng đồng học tập lớp 12
Back to Top
Menu
  • Thi đấu
  • Sitemap
Tài khoản

  • Đăng ký
  • Lost your password ?