20 Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 (sách mới) có đáp án

Bài tập Toán 9 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

A. Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 1. Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất 2 điểm chung.Khi đó đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Bài 2. Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm. Lấy điểm I trên đường thẳng a và vẽ đường tròn (I; 3 cm). Khi đó đường tròn tâm I với đường thẳng b

A. cắt nhau;

B. tiếp xúc;

C. không giao nhau;

D. đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (I) có R = 3 cm.

Ta có a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm.

Mà I thuộc đường thẳng a.

Suy ra điểm I cách đường thẳng b một khoảng bằng 3,5 cm nên d = 3,5 cm.

Vì 3,5 cm > 3 cm nên d > R.

Vậy đường tròn (I) và đường thẳng b không giao nhau.

Bài 3. Cho đường tròn tâm O, bán kính 3 cm và một điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm. Vẽ đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O), với B là tiếp điểm. Độ dài AB là

A. 3 cm;

B. 4 cm;

C. 5 cm;

D. 2 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm B nên OB = R = 3 cm và OB ⊥ AB tại B.

Lại có điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm nên OA = 5 cm.

Tam giác OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OB² + AB²

Suy ra AB² = OA² – OB² = 5² – 3² = 16.

Do đó AB = 4 (cm).

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4. Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên một sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 62 cm. Tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Hướng dẫn giải

Bán kính của bánh xe là: $R=\frac{62}{2}=31$ (cm).

Vì diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên một sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây nên sợi dây là tiếp tuyến của bánh xe.

Khi đó khoảng cách từ trục bánh xe đến sợi dây luôn bằng R = 31 cm.

Vậy khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp bằng 31 cm.

Bài 5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $\widehat{AMB}=60°$. Biết chu vi tam giác AMB bằng 24 cm. Tính độ dài bán kính của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MA = MB.

Suy ra tam giác AMB cân tại M.

Mà $\widehat{AMB}=60°$nên tam giác AMB đều.

Suy ra AM = MB = AB.

Lại có chu vi tam giác AMB bằng 24 cm nên $AM=MB=AB=\frac{24}{3}=8$ (cm).

Áp dụng định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MO là tia phân giác của .

Suy ra $\widehat{AMO}=\frac{\widehat{AMB}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$.

Vì MA là tiếp tuyến của (O) với A là tiếp điểm nên MA ⊥ OA.

Tam giác OAM vuông tại A nên:

$OA=AM\cdot \tan \widehat{AMO}=8\cdot \tan 30°=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ (cm).

Vậy độ dài bán kính của đường tròn (O) bằng $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.

B. Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì ta nói đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì mỗi điểm chung được gọi là một giao điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a cắt đường tròn (O;R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a nhỏ hơn R và ngược lại.

2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó.

Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng R và ngược lại.

3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Nhận xét: Đường thẳng a và đường tròn (O;R) không giao nhau khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a lớn hơn R và ngược lại.

Nhận xét: Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O;R) thông qua hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R được tóm tắt trong bảng sau:

Sơ đồ tư duy Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn