Luyện tập Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân – ứng dụng – Toán 12

1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^2} + \sin x\) là

2. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)},\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

3. Cho tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \) nếu đặt \(t = \sqrt {x + 1} \) thì \(I = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \) trong đó:

4. Biết \(\int\limits_0^1 {{x^3}} {\left({1 - {x^2}} \right)^{2019}}dx = \frac{1}{2}\left({\frac{1}{m} - \frac{1}{n}} \right)\), với \(m,n\) là các số nguyên dương. Tính \(m + n\).

5. Biết \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{dx}} = - 2} \) và \(\int\limits_1^2 {{\rm{g}}\left( x \right){\rm{dx}} = 1} \) thì \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{dx}}} \) bằng

6. Cho \(F\left(x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x \right) = \frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\) thỏa mãn \(F\left({\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(F\left(0 \right)\).

7. Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\cos 2x\) là

8. Diện tích phần hình phẳng được gạch ngang trong hình dưới bằng

9. Cho hàm số \(y = f\left(x \right)\). Hàm số \(y = f'\left(x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\)và đồ thị hàm số\(y = f'\left(x \right)\)trên đoạn\(\left[ { - 2\;;\;1} \right]\)và \(\left[ {1\;;\;4} \right]\) lần lượt bằng \(9\) và \(12.\) Cho \(f\left(1 \right) = 3.\) Giá trị của biểu thức \(f\left({ - 2} \right) + f\left(4 \right)\) bằng

10. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(R\) và \(f(x) + f(- x) = {\cos ^4}x\) \(\forall x \in R\). Giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \) là

11. \(F\left(x \right)\)là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x \right) = \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}\,\,\,\,\,\left({x \ne 0} \right)\), biết rằng \(F\left(1 \right) = 1\). Tính \(F\left(3 \right)\).

12. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - 8x\) là

13. Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + 3x\) là

14. Giả sử \(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln c} \). Giá trị của \(c\) là

15. Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\) như hình vẽ bên. Diện tích \(S\) của hình phẳng phần tô đậm trong hình được tính theo công thức nào sau đây?