Luyện tập Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân – ứng dụng – Toán 12

1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^2} + \sin x\) là

2. Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = - \sin x + {{\rm{e}}^{ - x}}\) là

3. Hàm số \(F\left(x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

4. Hàm số \(f\left(x \right) = x\sqrt {x + 1} \) có một nguyên hàm là \(F\left(x \right)\). Nếu \(F\left(0 \right) = 2\)thì \(F\left(3 \right)\)bằng

5. Tính \(I = \int {{3^{2x}}} \,{\rm{d}}x\).

6. Cho hàm số \(f\left(x \right)\) có \(\int\limits_0^9 {f\left(x \right)dx = 9} \). Tính \(\int\limits_0^3 {f\left({3x} \right)dx} \).

7. Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^3}} }}} dx = \frac{1}{3}\ln \frac{{a + b\sqrt 2 }}{2}\). Tính \(a. b\)

8. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}x} \).

9. Biết \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = \frac{5}{3}} \) và \(\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt = \frac{3}{5}} \). Tính \(\int\limits_3^4 {f\left( u \right)du} \).

10. \(F\left(x \right)\)là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x \right) = \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}\,\,\,\,\,\left({x \ne 0} \right)\), biết rằng \(F\left(1 \right) = 1\). Tính \(F\left(3 \right)\).

11. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a\,;\,b} \right]\). Gọi \(D\) là miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\,\left( {a < b} \right)\). Diện tích của \(D\) được cho bởi công thức nào sau đây?

12. Diện tích phần hình phẳng được gạch ngang trong hình dưới bằng

13. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)},\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

14. Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} - x + 1}}} dx = \frac{{\pi a}}{{b\sqrt 3 }}\). Với \(a,b\)là các số nguyên và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

15. Tính thể tích vật thể tròn xoay ( phần tô đậm) quay quanh trục hoành giới hạn bởi các đường \(y = {x^2}\), \(y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\) và trục hoành như hình vẽ.