Luyện tập Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân – ứng dụng – Toán 12

Ta có \(I = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {{{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}{\rm{d}}x} \).
Đặt \[\sqrt[3]{x} = t \Rightarrow x = {t^3}\] \[ \Rightarrow {\rm{d}}x = 3{t^2}{\rm{d}}t\] khi đó \(I = \int {{{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}{\rm{d}}x} = 3\int {{t^2}{{\rm{e}}^t}} {\rm{d}}t\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {t^2} \Rightarrow {\rm{d}}u = 2t{\rm{d}}t\\{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^t}{\rm{d}}t \Rightarrow v = {e^t}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = 3\left( {{t^2}{{\rm{e}}^t} - 2\int {t{{\rm{e}}^t}{\rm{d}}t} } \right)\) \( = 3{t^2}{{\rm{e}}^t} - 6\int {t{{\rm{e}}^t}{\rm{d}}t} = 3{t^2}{{\rm{e}}^t} - 6K\).
Với \(K = \int {t{{\rm{e}}^t}{\rm{d}}t} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t \Rightarrow {\rm{d}}u = {\rm{d}}t\\{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^t}{\rm{d}}t \Rightarrow v = {{\rm{e}}^t}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K = \int {t{{\rm{e}}^t}{\rm{d}}t} = t{{\rm{e}}^t} - \int {{{\rm{e}}^t}{\rm{d}}t} = t{{\rm{e}}^t} - {{\rm{e}}^t} + {C_1}\), với \({C_1}\)hằng số.
Từ đó suy ra \(I = 3{{\rm{e}}^t}{t^2} - 6\left( {{{\rm{e}}^t}t - {{\rm{e}}^t} + {C_1}} \right)\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = 3{{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}\sqrt[3]{{{x^2}}} - 6\left( {{{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}\sqrt[3]{x} - {{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}} \right) + C\), với \(C = 6{C_1}\) hằng số.
Theo giả thiết ta có \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = - 4\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = 3{{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}\sqrt[3]{{{x^2}}} - 6\left( {{{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}\sqrt[3]{x} - {{\rm{e}}^{\sqrt[3]{x}}}} \right) - 4\).
Vậy \(F\left( { - 1} \right) = \frac{{15}}{{\rm{e}}} - 4\).

Ta có: \(f\left( x \right).f\left( {1 - x} \right) + f\left( x \right) = 1 + f\left( x \right)\)\( \Rightarrow \frac{1}{{f\left( {1 - x} \right) + 1}} = \frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}{\mkern 1mu} \) Xét \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{1 + f\left( x \right)}}} \) Đặt \(t = 1 - x \Leftrightarrow x = 1 - t\) \( \Rightarrow {\rm{d}}x = - {\rm{d}}t\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1\); \(x = 1 \Rightarrow t = 0\).
Khi đó \(I = - \int\limits_1^0 {\frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{1 + f\left( {1 - x} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right){\rm{d}}x}}{{1 + f\left( x \right)}}} \) Mặt khác \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{1 + f\left( x \right)}}} + \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right){\rm{d}}x}}{{1 + f\left( x \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{1 + f\left( x \right)}}{{1 + f(t)}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{\rm{d}}x} = 1\) hay \(2I = 1\). Vậy \(I = \frac{1}{2}\).