Trắc nghiệm Cực trị hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f’\left( x \right) = 0\) có \(4\) nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(4\) điểm cực trị.

Ta có \[f’\left( x \right) = \left( {x – 7} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)\]\[ \Rightarrow \]\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = 3\\x = – 3\end{array} \right.\].
\[g’\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 5x}}{{\left| {{x^3} + 5x} \right|}}.\left( {3{x^2} + 5} \right)f’\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = \frac{{x\left( {{x^2} + 5} \right)}}{{\left| {{x^3} + 5x} \right|}}.\left( {3{x^2} + 5} \right)f’\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\].
\[g’\left( x \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \,\,f’\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = 0\].
Đạo hàm không xác định tại \[x = 0\].
Do đó điều kiện để \[g\left( x \right)\] có ít nhất 3 điểm cực trị là phương trình \[f’\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = 0\] có ít nhất 2 nghiệm đơn hoặc bội lẻ khác 0.
\[f’\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = 7\\\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = 3\\\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = – 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 5x} \right| – 7 = – m\\\left| {{x^3} + 5x} \right| – 3 = – m\\\left| {{x^3} + 5x} \right| + 3 = – m\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \] Phương trình \[f’\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = 0\] có ít nhất 2 nghiệm bội lẻ khác 0 \[ \Leftrightarrow \, – m > – 7 \Leftrightarrow m < 7\]Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên \[m\] thỏa mãn.