Lý thuyết phần phương trình lượng giác cơ bản thi ĐGNL ĐHQG HN

I. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình \(\sin x = m\).

+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi  – \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\)

Đặc biệt: \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  – \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

b) Phương trình \(\cos x = m\).

+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x =  – \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\)

Đặc biệt: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  – \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

c) Phương trình \(\tan x = m\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan m + k\pi \).

Đặc biệt: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

d) Phương trình \(\cot x = m\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \).

Đặc biệt: \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

e) Các trường hợp đặc biệt

\( + )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\) \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

\( + )\sin x =  – 1 \Leftrightarrow x =  – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x =  – 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \)

\( + )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\)  \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)

II. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

– Phương trình \(at + b = 0\left( {a,b \in R,a \ne 0} \right)\) với \(t = \sin x\left( {\cos x,\tan x,\cot x} \right)\) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \(\sin ,\cos ,\tan ,\cot \).

– Cách giải: Biến đổi \(at + b = 0 \Leftrightarrow t =  – \dfrac{b}{a}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản.

III. Một số chú ý khi giải phương trình

– Khi giải phương trình lượng giác có chứa \(\tan ,\cot \), chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

– Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.