Sách bài tập Toán 10 Bài 7 (Kết nối tri thức): Các khái niệm mở đầu

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Giải SBT Toán 10 trang 47 Tập 1

Bài 4.1 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

a) Hai vectơ $\vec{G A}$ và $\vec{G M}$ cùng phương;

b) Hai vectơ $\vec{G A}$ và $\vec{G M}$ cùng hướng;

c) Hai vectơ $\vec{G A}$ và $\vec{G M}$ ngược hướng;

d) Độ dài của vectơ $\vec{A M}$ bằng ba lần độ dài của vectơ $\vec{M G}$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC

Nên trung tuyến AM đi qua điểm G.

+ Hai vectơ $\vec{G A}$ và $\vec{G M}$ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

Do đó khẳng định a) là đúng.

+ Hai vectơ $\vec{G A}$ và $\vec{G M}$ ngược hướng

Do đó khẳng định b) là sai và khẳng định c) là đúng.

+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $A G = \frac{2}{3} A M$

Þ AM = 3MG.

Do đó $|\vec{A M}| = 3 |\vec{M G}|$

Do đó khẳng định d) là đúng.

Vậy các khẳng định đúng là: a), c) và d).

Bài 4.2 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Cho trước hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Hỏi có hay không một vectơ cùng phương với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Lời giải:

Vì vectơ $\vec{0}$ cùng phương với mọi vectơ nên:

+ Vectơ $\vec{0}$ cùng phương với $\vec{a}$

+ Vectơ $\vec{0}$ cùng phương với $\vec{b}$

Do đó có một vectơ $\vec{0}$ cùng phương với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Bài 4.3 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng phương và cùng khác vectơ $\vec{0}$ . Chứng minh rằng có ít nhất hai vectơ trong chúng có cùng hướng.

Lời giải:

Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng phương và cùng khác vectơ $\vec{0}$ nên chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng nhau.

Trường hợp 1: Nếu $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{b}$ (hoặc $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{c}$ )

Thì khi đó có hai vectơ cùng hướng.

Trường hợp 2: Nếu $\vec{a}$ ngược hướng với cả $\vec{b}$ và $\vec{c}$

Vì $\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{b}$ , $\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{c}$

Nên khi đó $\vec{b}$ và $\vec{c}$ cùng hướng với nhau.

Do đó có hai vectơ trong ba vectơ cùng hướng với nhau

Vậy có ít nhất hai vectơ trong ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ có cùng hướng.

Bài 4.4 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F.

a) Hãy chỉ ra các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với vectơ $\vec{O A}$

b) Tìm các vectơ bằng vectơ $\vec{A B}$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do ABCDEF là lục giác đều tâm O nên:

+ Các cặp cạnh đối diện bằng nhau: AB = ED, BC = FE, CD = FA;

+ Ba đường chéo chính AD, BE, CF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường;

+ Mỗi đường chéo chính song song với một cặp cạnh có đầu mút không thuộc đường chéo ấy.

a) Các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với vectơ $\vec{O A}$ mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là: $\vec{O A}, \vec{A O}, \vec{O D}, \vec{D O}, \vec{B C},$ $\vec{C B}, \vec{E F}, \vec{F E}, \vec{D A}, \vec{A D} .$

b) Vectơ bằng vectơ $\vec{A B}$ mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là: $\vec{A B}, \vec{F O}, \vec{O C}, \vec{E D} .$

Bài 4.5 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông, với trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng $\vec{B H} = \vec{A^{‘} C} .$

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ $\vec{A H}$ và $\vec{O M}$

Lời giải:

a) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ AB

Mặt khác AA’ là đường kính của (O), B ∈ (O) nên $\hat{A B A^{‘}} = 90 °$

Do đó AA’ ⊥ AB

Suy ra CH // AA’ (từ vuông góc đến song song)

Chứng minh tương tự ta cũng có BH // A’C

Tứ giác BHCA’ có CH // AA’ và BH // A’C

Suy ra BHCA’ là hình bình hành

Do đó $\vec{B H} = \vec{} .$

b) Ta có: O và M lần lượt là trung điểm của AA’ và BC

Nên OM là đường trung bình của tam giác AA’H

Do đó AH = 2OM và OM // AH (tính chất đường trung bình)

Vậy, hai vectơ $\vec{O M}$ và $\vec{A H}$ có:

+ Cùng phương

+ Cùng hướng

+ $|\vec{A H}| = 2 |\vec{O M}|$

Giải SBT Toán 10 trang 48 Tập 1

Bài 4.6 trang 48 SBT Toán 10 Tập 1: Trên biển Đông, một tàu chuyển động đều từ vị trí A theo hướng N20°E với vận tốc 20 km/h. Sau 2 giờ, tàu đến được vị trí B. Hỏi A cách B bao nhiêu kilômét và hướng nào so với B?

Lời giải:

Ta sử dụng vectơ $\vec{v}$ với $|\vec{v}| = 20$ (km/h) để biểu thị vận tốc của tàu, vectơ $\vec{A B}$ biểu thị cho quãng đường và hướng chuyển động của tàu từ A tới B (hình vẽ trên).

Vì tàu chuyển động đều từ A với vận tốc 20 km/h trong 2 giờ tới B nên $A B = |\vec{A B}| = 2. |\vec{v}| = 2.20 = 40$ (km).

Vậy A cách B 40 km.

Do tàu chuyển động đều từ vị trí A theo hướng N20°E đến vị trí B

Do đó A ở hướng ngược lại so với B, tức là hướng S20°W so với B.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Các khái niệm mở đầu

1. Khái niệm vectơ

– Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.

– Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý:

+ Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là $\vec{A B}$ , đọc là vectơ AB.

+ Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối.

Các khái niệm mở đầu

+ Vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{x}$ , $\vec{y}$ ,…

Các khái niệm mở đầu

+ Độ dài của vectơ $\vec{A B}$ , $\vec{a}$ tương ứng được kí hiệu là $| \vec{A B} |$ , $| \vec{a} |$ .

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài vectơ $\vec{A C}$ , $\vec{B D}$ .

Các khái niệm mở đầu

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90 °$ .

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = AD = 1.

Ta có: BD² = AB² + AD².

Suy ra: BD² = 1² + 1² = 2 ⇒ BD = $\sqrt{2}$ .

Do đó $| \vec{B D} |$ = BD = $\sqrt{2}$

Mặt khác Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo BD và AC bằng nhau.

Vì vậy AC = BD = $\sqrt{2}$

Do đó: $(\vec{A C})$ = AC = $\sqrt{2}$ ;

Vậy $| \vec{B D} |$ = $\sqrt{2}$ ; $(\vec{A C})$ = $\sqrt{2}$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.

+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

+ Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $\vec{a}$ = $\vec{b}$ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Ví dụ:

Các khái niệm mở đầu

Trong hình trên đường thẳng m đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ $\vec{a}$ , nên đường thẳng m gọi là giá của vectơ $\vec{a}$ .

Tương tự, đường thẳng n là giá của hai vectơ $\vec{b}$ và $\vec{c}$ .

Đường thẳng m và n song song với nhau nên ba vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và là các vectơ cùng phương.

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương nhưng ngược hướng; $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng phương vàcùng hướng.

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng, ngoài ra chúng có độ dài bằng nhau nên $\vec{a}$ = $\vec{c}$ .

Chú ý:

+ Ta cũng xét các vectơ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn $\vec{A A}$ , $\vec{B B}$ ), gọi là các vectơ–không.

+ Ta quy ước vectơ–không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.

+ Các vectơ–không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$ .

+ Với mỗi điểm O và vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất điểm A sao cho $\vec{O A} = \vec{a}$ .

Các khái niệm mở đầu

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng phương.

Các khái niệm mở đầu

Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.

Ví dụ: Một vật A thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Khi đó $\vec{F}$ biểu diễn lực đẩy Ác–si–mét và $\vec{P}$ biểu diễn trọng lực tác dụng lên vật A.

Các khái niệm mở đầu

$\vec{F}$ và $\vec{P}$ tác dụng lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do vật chìm hoàn toàn dưới đáy cốc nên trọng lực $\vec{P}$ có độ lớn lớn hơn lực đẩy Ác–si–mét $\vec{F}$ , cụ thể $| \vec{P} | = 3 | \vec{F} |$ .

Bài liên quan